Математическое программирование в excel. Пример решения задачи линейного программирования с помощью MS Excel. Задания для лабораторной работы

Требуется определить, в каком количестве надо выпустить продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье и финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены на рис. 1.

Рисунок 1.

Математическая модель задачи имеет вид:

где x j – количество выпускаемой продукции j-го типа; F – функция цели; в левых частях выражений ограничений указаны величины потребного ресурса , а правые части показывают количество имеющегося ресурса .

Ввод условий задачи

Для решения задачи с помощью Excel следует создать форму для ввода исходных данных и ввести их. Форма ввода показана на рис. 2.

В ячейку F6 введено выражение целевой функции как суммы произведений значений прибыли от выпуска единицы продукции каждого типа на количество выпускаемой продукции соответствующего типа. Для наглядности на рис. 3 представлена форма ввода исходных данных в режиме вывода формул.

В ячейки F8:F10 введены левые части ограничений для ресурсов каждого вида.

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Решение задачи линейного программирования

Для решения задач линейного программирования в Excel используется мощный инструмент, называемый Поиск решения . Обращение к Поиску решения осуществляется из меню Сервис , на экран выводится диалоговое окно Поиска решения (рис. 4).

Рисунок 4.

Ввод условий задачи для поиска ее решения состоит из следующих шагов:

1 Назначить целевую функцию, для чего установить курсор в поле Установить целевую ячейку окна Поиск решения и щелкнуть в ячейке F6 в форме ввода;

2 Включить переключатель значения целевой функции, т.е. указать ее Равной Максимальному значению ;

3 Ввести адреса изменяемых переменных (x j): для этого установить курсор в поле Изменяя ячейки окна Поиск решения, а затем выделить диапазон ячеек B3:E3 в форме ввода;

4 Нажать кнопку Добавить окна Поиск решения для ввода ограничений задачи линейного программирования; на экран выводится окно Добавление ограничения (рис. 5) :

Ввести граничные условия для переменных x j (x j ³0), для этого в поле Ссылка на ячейку указать ячейку В3, соответствующую х 1 , выбрать из списка нужный знак (³), в поле Ограничение указать ячейку формы ввода, в которой хранится соответствующее значение граничного условия, (ячейка В4), нажать кнопку Добавить ; повторить описанные действия для переменных х 2 , х 3 и х 4 ;

Ввести ограничения для каждого вида ресурса, для этого в поле Ссылка на ячейку окна Добавление ограничения указать ячейку F9 формы ввода, в которой содержится выражение левой части ограничения, наложенного на трудовые ресурсы, в полях Ограничение указать знак £ и адрес Н9 правой части ограничения, нажать кнопку Добавить ; аналогично ввести ограничения на остальные виды ресурсов;

После ввода последнего ограничения вместо Добавить нажать ОК и возвратиться в окно Поиск решения.

Рисунок 5.

Решение задачи линейного программирования начинается с установки параметров поиска:

В окне Поиск решения нажать кнопку Параметры , на экран выводится окно Параметры поиска решения (рис. 6);

Установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода;

Указать предельное число итераций (по умолчанию – 100, что подходит для решения большинства задач);

Установить флажок , если необходимо просмотреть все этапы поиска оптимального решения;

Нажать ОК , возврат в окно Поиск решения .

Рисунок 6.

Для решения задачи нажать кнопку Выполнить в окне Поиск решения , на экране – окно Результаты поиска решения (рис. 7), в котором содержится сообщение Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Если условия задачи несовместны, то выводится сообщение Поиск не может найти подходящего решения . Если целевая функция не ограничена, то появляется сообщение Значения целевой ячейки не сходятся .

Рисунок 7.

Для рассматриваемого примера решение найдено и результат оптимального решения задачи выводится в форме ввода: значение целевой функции, соответствующее максимальной прибыли и равное 1320, указывается в ячейке F6 формы ввода, оптимальный план выпуска продукции х 1 =10, х 2 =0, х 3 =6, х 4 =0 указывается в ячейках В3:С3 формы ввода (рис. 8).

Количество использованных для выпуска продукции ресурсов выводится в ячейки F9:F11: трудовых – 16, сырья – 84, финансов – 100.

Рисунок 8.

Если при установке параметров в окне Параметры поиска решения (рис. 6) был установлен флажок Показывать результаты итераций , то будут показаны последовательно все шаги поиска. На экран будет выводиться окно (рис. 9). При этом текущие значения переменных и функции цели будут показаны в форме ввода. Так, результаты первой итерации поиска решения исходной задачи представлены в форме ввода на рисунке 10 .

Рисунок 9.

Рисунок 10.

Чтобы продолжить поиск решения, следует нажимать кнопку Продолжить в окне Текущее состояние поиска решения .

Анализ оптимального решения

Прежде чем, перейти к анализу результатов решения, представим исходную задачу в форме

введя дополнительные переменные у i , представляющие собой величины неиспользованных ресурсов.

Составим для исходной задачи двойственную задачу и введем дополнительные двойственные переменные v i .

Анализ результатов поиска решения позволит увязать их с переменными исходной и двойственной задач.

С помощью окна Результаты поиска решения можно вызвать отчеты трех типов, позволяющие анализировать найденное оптимальное решение:

Результаты,

Устойчивость,

Пределы.

Для вызова отчета в поле Тип отчета выделить название нужного типа и нажать ОК .

1 Отчет по результатам (рис. 11) состоит из трех таблиц:

Таблица 1 содержит сведения о целевой функции; в столбце Исходно указывается значение целевой функции до начала вычислений;

Таблица 2 содержит значения искомых переменных x j , полученных в результате решения задачи (оптимальный план выпуска продукции);

Таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.

Для Ограничений в графе Формула приведены зависимости, которые были введены при задании ограничений в окне Поиск решения ; в графе Значение указаны величины использованного ресурса; в графе Разница показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в графе Состояние выводится сообщение связанное ; при неполном использовании ресурса в этой графе указывается не связан. Для Граничных условий приводятся аналогичные величины с той лишь разницей, что вместо неиспользованного ресурса показана разность между значением переменной x j в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием (x j ³0).

Именно в графе Разница можно увидеть значения дополнительных переменных y i исходной задачи в формулировке (2). Здесь у 1 =у 3 =0, т.е. величины неиспользованных трудовых и финансовых ресурсов равны нулю. Эти ресурсы используются полностью. Вместе с тем, величина неиспользованных ресурсов для сырья у 2 =26, значит, имеются излишки сырья.

Рисунок 11.

2 Отчет по устойчивости (рис. 12)состоит из двух таблиц.

В таблице 1 приводятся следующие значения:

Результат решения задачи (оптимальный план выпуска);

- Нормир. стоимость , т.е. величины, показывающие, насколько изменится целевая функция при принудительном включении единицы продукции соответствующего типа в оптимальный план;

Коэффициенты целевой функции;

Предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется оптимальный план выпуска.

В таблице 2 содержатся аналогичные данные для ограничений:

Величины использованных ресурсов;

- Теневая цена , показывающая, как изменится целевая функция при изменении величины соответствующего ресурса на единицу;

Допустимые значения приращений ресурсов, при которых сохраняется оптимальный план выпуска продукции.

Рисунок 12.

Отчет по устойчивости позволяет позволяет получить двойственные оценки.

Как известно, двойственные переменные z i показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурса i-го типа на единицу. В отчете Excel двойственная оценка называется Теневой ценой .

В нашем примере сырье не используется полностью и его ресурс у 2 =26. Очевидно, что увеличение количества сырья, например, до 111 не повлечет за собой увеличения целевой функции. Следовательно, для второго ограничения двойственная переменная z 2 =0. Таким образом, если по данному ресурсу есть резерв, то дополнительная переменная будет больше нуля, а двойственная оценка этого ограничения равна нулю.

В рассматриваемом примере трудовые ресурсы и финансы использовались полностью, поэтому их дополнительные переменные равны нулю (у 1 =у 3 =0). Если ресурс используется полностью, то его увеличение или уменьшение повлияет на объем выпускаемой продукции, и следовательно, на величину целевой функции. Двойственные оценки ограничений на трудовые и финансовые ресурсы отличны от нуля, т.е. z 1 =20, z 3 =10.

Значения двойственных оценок находим в Отчете по устойчивости , в таблице 2, в графе Теневая цена .

При увеличении (уменьшении) трудовых ресурсов на единицу целевая функция увеличится (уменьшится) на 20 единиц и будет равна

F=1320+20×1=1340 (при увеличении).

Аналогично, при увеличении объема финансов на единицу целевая функция будет

F=1320+10×1=1330.

Здесь же, в графах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение таблицы 2, показаны допустимые пределы изменения количества ресурсов j-го вида. Например, для при изменении приращения величины трудовых ресурсов в пределах от –6 до 3,55, как показано в таблице, структура оптимального решения сохраняется, т.е наибольшую прибыль обеспечивает выпуск Прод1 и Прод3, но в других количествах.

Дополнительные двойственные переменные также отражены в Отчете по устойчивости в графе Нормир. стоимость таблицы 1.

Если основные переменные не вошли в оптимальное решение, т.е. равны нулю (в примере х 2 =х 4 =0), то соответствующие им дополнительные переменные имеют положительные значения (v 2 =10, v 4 =20). Если же основные переменные вошли в оптимальное решение (х 1 =10, х 3 =6), то их дополнительные двойственные переменные равны нулю (v 1 =0, v 3 =0).

Эти величины показывают, насколько уменьшится (поэтому знак минус в значениях переменных v 2 и v 4) целевая функция при принудительном выпуске единицы данной продукции. Следовательно, если мы захотим принудительно выпустить единицу продукции вида Прод3, то целевая функция уменьшится на 10 единиц и будет равна 1320 -10×1 =1310.

Обозначим через Dс j изменение коэффициентов целевой функции в исходной модели (1). Эти коэффициенты определяют прибыль, получаемую при реализации единицы продукции j-го вида.

В графах Допустимое увеличение и Допустимое Уменьшение таблицы 1 Отчета по устойчивости показаны пределы изменения Dс j , при которых сохраняется структура оптимального плана, т.е. будет выгодно по-прежнему выпускать продукцию вида Продj. Например, при изменении Dс 1 в пределах -12£ Dс 1 £ 40, как показано в отчете, по-прежнему будет выгодно выпускать продукцию вида Прод1. При этом значение целевой функции будет F=1320+x 1 ×Dс j =1320+10×Dс j .

3 Отчет по пределам приведен на рис. 13. В нем показывается, в каких пределах могут изменяться значения x j , вошедшие в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения. Кроме этого, для каждого типа продукции приводятся значения целевой функции, получаемые при подстановке в оптимальное решение значения нижнего предела выпуска изделий соответствующего типа при неизменных значениях выпуска остальных типов. Например, если при оптимальном решении х 1 =10, х 2 =0, х 3 =6, х 4 =0 положить х 1 =0 (нижний предел) при неизменных х 2 , х 3 и х 4 , то значение целевой функции будет равно 60×0+70×0+120×6+130×0=720.

Пример решения задачи линейного программирования с помощью MS Excel

Хозяйство специализируется в полеводстве на производстве зерна, сахарной свеклы и подсолнечника. В с.-х. предприятии имеются 3200 га пашни, трудовые ресурсы в объеме 7 000 чел.-дней и минеральные удобрения в объеме 15000 ц.д.в. Требуется найти такое сочетание посевных площадей, которое обеспечило бы получение максимума прибыли.

Следует также учесть, что

- площадь посева технических культур (сахарной свеклы и подсолнечника) не должна превышать 25% общей площади пашни;

- хозяйством заключен договор на продажу зерна в объеме 65000 ц.

Для разработки экономико-математической модели необходима подготовка входной информации (табл. 1).

Таблица 1

За неизвестные примем площади посева сельскохозяйственных культур по видам:

X 1 - зерновых культур

X 2 - сахарной свеклы

X 3 - подсолнечника

Для построения экономико-математической модели задачи необходимо учесть все условия. В данном случае, по этим условиям можно составить пять ограничений:

- сумма площадей посева сельскохозяйственных культур не должна превышать площади, имеющейся в хозяйстве (3200 га). Коэффициентами при неизвестных в этом ограничении характеризуют расход пашни на 1 га каждой сельскохозяйственной культуры. В данном случае технико-экономические коэффициенты по неизвестным будут равняться единице. В правой части записывается общая площадь пашни.

1) Х1+Х2+Х3<=3200

- сумма площадей посева технических культур не должна превышать площади, которая может быть отведена для этой цели (3200*0,25=800 га). Коэффициентами при неизвестных в этом ограничении характеризуют расход пашни, отведенной под посевы технических культур, на 1 га каждой технической сельскохозяйственной культуры. В данном случае технико-экономические коэффициенты по неизвестным Х2 и Х3 будут равняться единице, а по нетехническим сельскохозяйственным культурам (Х3) - нулю. В правой части записывается максимальная площадь пашни, которая может быть отведена под посевы технических культур.

2) Х2+Х3<=800

- третье и четвертое ограничения гарантируют, что использование трудовых ресурсов и минеральных удобрений не превысит их наличие в хозяйстве. Другими словами, сумма произведений норм затрат ресурсов на 1 га на площади посева соответствующих сельскохозяйственных культур не должна превышать объемов ресурсов, имеющихся в с.-х. предприятии. Коэффициентами при неизвестных в этих ограничениях будут являться нормы расхода ресурсов (в третьем ограничении – трудовых ресурсов, в четвертом – минеральных удобрений) на 1 га площади посева сельскохозяйственных культур. В данном случае технико-экономические коэффициенты взяты из таблицы 1. В правой части записывается наличие этих ресурсов в хозяйстве.

3) 1,5Х1+4,5Х2+1,5Х3<=7000

4) 2Х1+15Х2+2,3Х3<=15000

- пятое ограничение гарантирует производство запланированного объема зерна. В качестве коэффициентов при переменных выступает выход зерна с 1 га площади посева с.-х. культур. При неизвестной Х1 это урожайность зерновых (таблица 1). При переменных Х2 и Х3 этот коэффициент равен нулю. В правой части записывается план производства зерна.

5) 26Х1>=65000

В результате получена система пяти линейных неравенств с тремя неизвестными. Требуется найти такие неотрицательные значения этих неизвестных Х1>=0; Х2>=0; Х3>=0, которые бы удовлетворяли данной системе неравенств и обеспечивали получение максимума прибыли от отрасли растениеводства в целом:

Z max = 2,89Х1+7,93Х2+3,53Х3

В качестве коэффициентов при неизвестных в целевой функции выступает прибыль, получаемая с 1 га площади посева сельскохозяйственных культур. Эти коэффициенты рассчитаны на основании данных таблицы 1.

Поскольку данная задача решается с помощью MS Excel , то и подготовку всей входной информации для построения экономико-математической модели целесообразно осуществлять также с использованием этого табличного процессора (рис 1). Это облегчает не только расчеты технико-экономических коэффициентов и других данных, но и дает в дальнейшем возможность автоматического обновления информации в экономико-математической модели.

Рисунок 1

Вся разработанная информация сводится в развернутую экономико-математическую модель и заносится в рабочий лист MS Excel . (Рис. 2.)

Рисунок 2

Данные в модель рекомендуется заносить в виде ссылок на ячейки с соответствующей информацией в расчетных рабочих листах или рабочих листах с исходными сведениями. На рисунке 3 показано, как в ячейке F9 представлена информация по норме затрат удобрений на 1 га посева подсолнечника.

Рисунок 3

В столбцы А («№»), В («Ограничения»), С («Единицы измерения») и H («Тип ограничений») вводятся соответствующие данные непосредственно в модель (рис.1). Они не используются в расчетах и служат для информативности и облегчения понимания содержания модели. В столбец I («Объем ограничений») вводятся ссылки на ячейки, содержащие соответствующую названию столбца информацию (значения правых частей построенных ранее неравенств).

Для искомых величин переменных Х1 , Х2 , Х3 нами были оставлены пустые ячейки - соответственно D5 , E 5 , F 5 . Изначально пустые ячейки программа MS Excel воспринимает как ячейки, значение которых равно нулю. Столбец G , названный нами «Сумма произведений », предназначен для определения суммы произведений значений искомых неизвестных (ячейки D5 , E 5 , F 5 ) и технико-экономических коэффициентов по соответствующим ограничениям (строки 6-10) и целевой функции (строка 11). Таким образом, в столбце G определяется:

- - количество используемых ресурсов (ячейка G6 – общей площади пашни; G7 – пашни, которая может быть использована под посевы технических культур; G8 – трудовых ресурсов; G9 – минеральных удобрений);

- - количество произведенного зерна (ячейка G10 );

- - величина прибыли (ячейка G11 ).

На рисунке 2 показано, как в ячейке G11 реализуется запись суммы произведений значений переменных (площадей посева с.-х. культур - ячейки D5 , E 5 , F 5 ) на соответствующие прибыли с 1 га их посева(ячейки D11 , E 11 , F 11 )с помощью функции MS Excel «СУММПРОИЗВ ». Так как при написании данной формулы использованы абсолютные адресации на ячейки от D5 до F 5 ,эта формула может быть скопирована в другие ячейки от G 6 до G10 .

Таким образом, построен опорный план (рис. 2) и получено первое допустимое решение. Значения неизвестных Х1 , Х2 , Х3 равны нулю (ячейки D5 , E 5 , F 5 - пустые ячейки), ячейки столбца G «Сумма произведений» по всем ограничениям (строкам 6-10) и целевой строке (строка 11) также имеют нулевые значения.

Экономическая интерпретация первого опорного плана звучит следующим образом: в хозяйстве имеются ресурсы, рассчитаны все технико-экономические коэффициенты, но процесс производства еще не начат; ресурсы не использовались, и, соответственно, прибыли нет.

Для оптимизации имеющегося плана воспользуемся инструментом Поиск решения, который находится в меню Сервис . Если нет такой команды в меню Сервис, необходимо в пункте Надстройка поставить галочку напротив Поиск решения . После этого данная процедура станет доступной в меню Сервис .

После выбора данной команды появится диалоговое окно (рис. 4).

Рисунок 4

Поскольку в качестве критерия оптимизации нами выбрана максимизация прибыли, в поле Установить целевую ячейку введите ссылку на ячейку, содержащую формулу расчета прибыли. В нашем случае это ячейка $G$11 . Чтобы максимизировать значение конечной ячейки путем изменения значений влияющих ячеек (влияющими, в данном случае это и изменяемые ячейки, являются ячейки, которые предназначены для хранения значений искомых неизвестных), переключатель установите в положение максимальному значению ;

В поле Изменяя ячейки введите ссылки на изменяемые ячейки, разделяя их запятыми; либо, если ячейки находятся рядом, указывая первую и последнюю ячейку, разделяя их двоеточием ($ D $5:$ F $5 ).

В поле Ограничения введите все ограничения, накладываемые на поиск решения. Добавление ограничения рассмотрим на примере добавления первого ограничения по общей площади пашни.

В разделе Ограничения диалогового окна Поиск решения нажмите кнопку Добавить . Появится следующее диалоговое окно (рис. 5)

Рисунок 5

В поле Ссылка на ячейку введите адрес ячейки, на значение которой накладываются ограничения. В нашем случае, это ячейка $ G $6 , где находится формула расчета используемой пашни в текущем плане.

Выберите из раскрывающегося списка условный оператор <= , который должен располагаться между ссылкой и ограничением.

В поле Ограничение введите ссылку на ячейку, в которой находится значение наличия площади пашни в хозяйстве, либо ссылка на это значение. В нашем случае, это ячейка $ I $6

В результате диалоговое окно примет следующий вид (рис. 6).

Рисунок 6

Чтобы принять ограничение и приступить к вводу нового, нажмите кнопку Добавить . Аналогично вводятся и другие ограничения. Чтобы вернуться в диалоговое окно Поиск решения , нажмите кнопку OK .

После выполнения вышеперечисленных инструкций диалоговое окно Поиск решения будет иметь следующий вид (рис. 7).

Рисунок 7

Для изменения и удаления ограничений в списке Ограничения диалогового окна Поиск решения укажите ограничение, которое требуется изменить или удалить. Выберите команду Изменить и внесите изменения либо нажмите кнопку Удалить .

Флажок Линейная модель в диалоговом окне Параметры Поиска решения (рис. 8) позволяет задать любое количество ограничений. Флажок Неотрицательные значения позволит соблюсти условие неотрицательности переменных (при решении нашей задачи – поставить обязательно). Остальные параметры можно оставить без изменений, либо установить нужные для вас параметры, при необходимости используя справку.

Рисунок 8

Для запуска задачи на решение нажмите кнопку Выполнить и выполните одно из следующих действий:

- чтобы восстановить исходные данные, выберите вариант Восстановить исходные значения .

Рисунок 9

Для того чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу ESC .

Лист Microsoft Excel будет пересчитан с учетом найденных значений влияющих ячеек. В результате решения и сохранения результатов поиска на листе модель примет следующий вид (табл. 10).

Рисунок 10

В ячейках D5 -F5 получены значения искомых неизвестных (площади посева равны: зерновых -2500 га, сахарной свеклы - 661 га, подсолнечника – 39 га), в ячейках G6 -G9 определены объемы используемых ресурсов (общей площади пашни – 3200 га; площади пашни, которая может быть использована под посевы технических культур – 700 га; трудовых – 6781,9 чел.-дней; минеральных удобрений – 15000 ц.д.в.), в ячейке G10 установлено количество произведенного зерна (65000 ц.). При всех этих значениях величина прибыли достигает 12603,5 тыс. руб. (ячейка G11 ).

В случае если в результате поиска не было найдено решение, удовлетворяющее заданным условиям, в диалоговом окне Результаты поиска решения появится соответствующее сообщение (рис. 11).

Рисунок 11

Одной из наиболее часто встречающихся причин невозможности найти оптимальное решение является такая ситуация, когда в результате решения задачи выясняется, что имеются ограничения, которые не выполняются. Сохранив найденное решение на листе, требуется построчно сравнить полученные значения столбцов «Сумма произведений» и «Объем ограничений» и проверить, удовлетворяет ли отношение между ними ограничению, стоящему в столбце «Тип ограничений». Найдя, таким образом, невыполняемые ограничения необходимо найти и ликвидировать причины, обуславливающие невозможность соблюдения данного конкретного условия (это может быть, например, слишком большие или, наоборот, очень маленькие запланированные объемы ограничений и т.п.).

Если ограничений в модели очень много, то визуально достаточно трудно сравнивать и проверять на верность каждую строку. Для облегчения рекомендуется добавить в модель еще один столбец «Проверка», где с помощью функций MS Excel «ЕСЛИ » и «ОКРУГЛ » можно организовать автоматическую проверку (рис. 12).

Рисунок 12

Изучив алгоритмы "ручного" решения задач линейного программирования, полезно познакомиться и со способом упростить этот процесс. Ясно, что чем сложнее задача, чем больше в ней переменных и условий, тем утомительнее и дольше ее решать. В таких случаях удобно использовать специальные математические пакеты, или доступную многим программу MS Excel.

Решить задачи линейного программирования в Excel достаточно просто: 1) внести исходные данные задачи и ограничения, 2) запустить надстройку Поиск решения, 3) установить нужные параметры решения и запустить выполнение. Программа подберет оптимальное решение, выдаст отчеты для анализа решения задачи.

Подробнее все эти этапы с пояснениями и скриншотами разобраны ниже в примерах на разных задачах линейного программирования - изучайте, ищите похожие, решайте. Если вам нужна помощь в выполнении заданий, перейдите в раздел: Контрольные работы по линейному программированию .

Линейное программирование: примеры решений в Excel

Задача 1. Построить математическую модель задачи и решить её средствами Excel. Записать сопряжённую задачу. Провести анализ и сделать выводы по полученным результатам.
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует различные ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в таблице.
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует выпускать, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

Задача 2. Цех производит 8 различных видов деталей для двигателей A, B, C1, C2, C3, D, E6, F имея в своем распоряжении перечисленный ниже парк из 7 видов универсальных станков: 2 шт. -ADF, 3 шт. -SHG, 3 шт. -BSD, 1 шт. -AVP, 1 шт. -BFG, 3 шт. -ABM, 2 шт. -RL.
Время, требуемое для обработки единицы каждого продукта на каждом станке, вклад в прибыль от производства единицы каждого продукта и рыночный спрос на каждый продукт за месяц даны в таблице.
Цех работает 12 часов в день. Каждый месяц содержит 26 рабочих дней. Для упрощения задачи считаем, что возможен произвольный порядок обработки деталей на различных станках.
Составьте оптимальный план производства.
Определите, производство каких продуктов лимитировано рынком, и каких – техническими возможностями цеха. Какие машинные ресурсы должны быть увеличены в первую очередь, чтобы добиться максимального увеличения прибыли (при заданных потребностях рынка)?
Есть ли продукт, который невыгодно производить? Почему? Что нужно изменить, чтобы все продукты стало выгодно производить?

Задача 3. Необходимо составить самый дешевый рацион питания цыплят, содержащий необходимое количество определенных питательных веществ тиамина Т и ниацина Н. Пищевая ценность рациона (в калориях) должна быть не менее заданной. Смесь для цыплят изготавливается из двух продуктов - К и С. Известно содержание тиамина и ниацина в этих продуктах, а также питательная ценность К и С (в калориях). Сколько К и С надо взять для одной порции куриного корма, чтобы цыплята получили необходимую им дозу веществ Н и Т и калорий (или больше), а стоимость порции была минимальна? Исходные данные для расчетов приведены в таблице.

Задача 4. Фирма "Компьютер-сервис" поставляет компьютеры под ключ четырех базовых комплектаций: «домашний», «игровой», «офисный» и «экстрим». Известны средние затраты времени на сборку, проверку и подключение компьютеров. Каждый компьютер приносит определенный уровень прибыли, но спрос ограничен. Кроме того, в плановом периоде ограничен ресурс человеко-часов, отведенных на выполнение каждой производственной операции. Определить, сколько компьютеров каждого типа необходимо произвести в плановом периоде, имея целью максимизировать прибыль.

Задача 5. На лесопилку поступают доски длиной 10 м. По контракту лесопилка должна поставить клиенту не менее 100 досок длиной 5 м, не менее 200 досок длиной 4 м и не менее 300 досок длиной 3 м. Как работникам лесопилки выполнить условия контракта, разрезав наименьшее количество досок?

Задача 6. Компания "Евростройтур" организует экскурсионные автобусные туры по странам Европы. Компания получила 4 новых автобуса и предполагает направить их на маршруты во Францию, Италию, Чехию и Испанию. Каждый автобус обслуживают 2 водителя. Компанией приглашены 8 водителей, в различной степени знакомых с дорогами европейских стран (в % от экскурсионного маршрута).
Необходимо распределить водителей так, чтобы общий показатель освоения маршрутов был максимальным.

Задача 7. Решить задачу методом ветвей и границ, решая отдельные задачи линейного нецелочисленного программирования с помощью функции "Поиск решения" в Microsoft Excel (в случае, если первая же задача ЛП выдает целочисленное решение, не позволяя ветвить задачу, немного изменить начальные условия).
Состав еды рядовых регламентируется верховной ставкой главнокомандующего, которая устанавливает нижние нормы питания в сутки по основным компонентам: 1500 килокалорий, 100 г белков, 280 г углеводов, 90 г жиров, 1 кг воды. На складах есть 4 вида продуктов, которые выдают защитникам Родины сухим пайком: лимонад, тушенка в маленьких банках, унифицированные наборы горбушек и пирожки с ежевикой. Стоимость этих четырех продуктов соответственно 12 руб., 34 руб., 3 руб. и 20 руб. Какова минимальная сумма, которую должен затратить прапорщик на питание одного солдата?

Задача 8. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие 1 и Изделие 2. На изготовление единицы Изделия 1 требуется затратить a11 кг сырья первого типа, a21 кг сырья второго типа, a31 кг сырья третьего типа.
На изготовление единицы Изделия 2 требуется затратить a12 кг сырья первого типа, a22 кг сырья второго типа, a32 кг сырья третьего типа.
Производство обеспечено сырьем каждого типа в количестве b1 кг, b2 кг, b3 кг соответственно.
Рыночная цена единицы Изделия 1 составляет c1 тыс. руб., а единицы Изделия 2 - c2 тыс.руб.
Требуется:
1) построить экономико – математическую модель задачи;
2) составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации при помощи графического метода решения задачи линейного программирования.
3) составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации при помощи табличного симплекс – метода решения задачи линейного программирования.
4) составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную выручку от их реализации, используя надстройку «Поиск решения» в среде MS EXCEL.

Лабораторная работа "Использование средства Поиск решения"

Задание:

Решить в Excel все приведенные ниже задачи (каждую на отдельном листе) и сохранить решения в файле LAB4.xls на своем пользовательском диске.

Задача 1 1

Решение задачи линейного программирования с помощью EXCEL. 2

Задача 2 4

Задача планирования производства красок 4

Задача 3 5

Решение транспортной задачи с помощью средства Поиск решения 5

Задача 1

Задача распределения ресурсов.

Если финансы, оборудование, сырье и даже людей полагать ресурсами, то значительное число задач в экономике можно рассматривать как задачи распределения ресурсов. Достаточно часто математической моделью таких задач является задача линейного программирования.

Например:

Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведена ниже.Составим математическую модель, для чего введем следущие обозначения:

x j - количество выпускаемой продукции j-го типа, j=1,4 ;

b i - количество располагаемого ресурса i-го вида, i=1,3 ;

a ij - норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа;

c j - прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.

Теперь приступим к составлению модели.

Для выпуска единицы Прод1 требуется 6 единиц сырья, значит, для выпуска всей продукции Прод1 требуется 6 х 1 единиц сырья, где х 1 - количество выпускаемой продукции Прод1. С учетом того, что для других видов продукции зависимости аналогичны, ограничение по сырью будет иметь вид:

6х 1 +5х 2 +4х 3

В этом ограничении левая часть равна величине потребного ресурса, а правая показывает количество имеющегося ресурса. Аналогично можно составить ограничения для остальных ресурсов и написать зависимость для целевой функции. Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

F=60x 1 +70x 2 +120x 3 +130x 4 --> max

x 1 +x 2 +x 3 +x 4

6x 1 +5x 2 +4x 3 +3x 4

4x 1 +6x 2 +10x 3 +13x 4

x j >=0; j=1,4

Решение задачи линейного программирования с помощью EXCEL.

1
. Сделать активной ячейку F6.

2. Мастер функций  Математические  СУММПРОИЗВ  на жмите кнопку Далее. На экране диалоговое окно

3. Введите зависимости для левых частей ограничений.

Работа в диалоговом окне Поиск решения.

1

. Сервис, Поиск решения...

2 . Курсор в поле Установить целевую ячейку и введите адрес F6.

3 . Введите направление целевой функции: Максимальному значению .

4 . Курсор в поле Изменяя ячейки и введите адреса B3:E3

5. Нажмите кнопку Добавить... и в ведите граничные условия на переменные

6. После ввода ограничений, нажмите кнопку Выполнить . В результате вычислений в ячейках В3:Е3, будут отражены найденные числовые значения х i , а в ячейке F6 – значение целевой функции.

Т.О, видно, что в оптимальном решении Прод1=В3=10, Прод2=С3=0, Прод3=D3=6, Прод4=Е3=0.

При этом максимальная прибыль будет составлять F6=1320 , количество использованных ресурсов равно трудовых=F9=16, сырья=F10=84, финансов=F11=100.

С помощью диалогового окна Результат поиска решения. Решение найдено можно получить отчеты трех типов: результаты, устойчивость, пределы.

Задача 2

Задача планирования производства красок

Для производства красок для наружных и внутренних работ используют два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно.

Суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышает спроса на краску для наружных работ более чем на 1т.

Спрос на краску для внутренних работ не превышает 2т. в сутки.

Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 руб. для краски для наружных работ и 2000 руб. для краски для внутренних работ .

Какое количество краски каждого вида следует производить, чтобы доход от реализации был максимальным?

Расходы продуктов А и В на 1т. приведены в таблице:

х 1 - суточный объем производства краски для внутренних работ

х 2 - суточный объем производства краски для наружных работ

f -суммарная суточная прибыль от производства обоих видов красок (целевая функция)

f = 3000х 1 +2000х 2

Определить при каких допустимых значениях х 1 и х 2 значение f - максимальное

Ограничения:

Решение задачи в Excel

Выполните: Cервис, Поиск решения

Целевая ячейка С4

Установить: М аксимальному значению

Изменяемые ячейки: А3:В3

Ограничения:

После ввода данных нажмите кнопку Выполнить

Полученное решение:

Вывод: оптимальным является производство 3,3 т. краски для наружных работ и 1,3 т. краски для внутренних работ в сутки. Этот объем принесет прибыль 12,7 тыс. руб.

Задача 3

Решение транспортной задачи с помощью средства Поиск решения

Фирма имеет четыре фабрики: А, В, С, D и пять центров распределения ее товаров: №1, №2, №3, №4, №5.

Производственные возможности фабрик соответственно составляют:

А – 200, В – 150, С – 225, D – 175 единиц продукции ежедневно.

Потребности центров распределения соответственно составляют:

№1 – 100, №2 – 200, №3 – 50, №4 – 250, №5 – 150 единиц продукции ежедневно.

Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, составляет $0,75 в день.

Штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центре распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день.

Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения представлена в таблице:

Спланировать перевозки так, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Модель рассматриваемой задачи сбалансирована (суммарный объем произведенной продукции равен суммарному объему потребностей в ней), значит не нужно учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками продукции. В противном случае в модель следует ввести:

В случае перепроизводства – фиктивный пункт распределения, стоимость перевозок единицы продукции, в который полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок – объемам складирования излишков продукции на фабриках.

В случае дефицита – фиктивную фабрику, стоимость перевозок единицы продукции с которой полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок – объемам недопоставок продукции в пункты распределения.

x ij – объем перевозок с i-й фабрики в j-й центр распределения.

c ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-й фабрики в j-й центр распределения.

а i – объем производства на i-й фабрике.

в j – спрос в j-м центре распределения.

Т

ребуется минимизировать суммарные транспортные расходы, т.е.

Ограничения:

x



ij  0 , i  , j 

Механизм решения задачи в Excel с использованием средства Поиск решения

В ячейки А1:Е4 введите стоимости перевозок.

А6:Е9 – отведите под значения неизвестных (объемы перевозок).

В ячейки G6:G9 введите объемы производства на фабриках.

В А11:Е11 – потребность в продукции в пунктах распределения.

В ячейку F10 – введите целевую функцию

В А10:Е10 –введите формулы, определяющие объем продукции, ввозимой в центры распределения

В F6: F9 – формулы, вычисляющие объем продукции, вывозимой с фабрик.

Сервис  Поиск решения

В окне диалога Поиск решения:
Установить целевую ячейку $F$10
Равной мин имальному значению
Изменяя ячейки: $А$6:$E$9
Ограничения:
$А$10:$E$10=$A$11:$E$11
$А$6:$E$9>=0
$F$6:$F$9=$G$6:$G$9

Щелкните на кнопке Параметры… и установите флажок Линейная модель

Нажмите кнопку Выполнить

Оптимальное решение транспортной задачи будет отражено в диапазоне А6:Е9

Решите транспортную задачу самостоятельно, используя выше описанный механизм.

Инструментом для решений задач оптимизации в MS Excel служит надстройка Поиск решения . Процедура поиска решения позволяет найти оптимальное значение формулы, содержащейся в ячейке, которая называется целевой. Эта процедура работает с группой ячеек, прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить по формуле, содержащейся в целевой ячейке, заданный результат, процедура изменяет значения во влияющих ячейках.

Если данная надстройка установлена, то Поиск реше­ния запускается из меню Сервис . Если такого пункта нет, следует выполнить команду Сервис → Надстройки... и вы­ставить флажок против надстройки
Поиск решения (рис.2.1).

В окне Поиск решения имеются следующие поля:

Установить целевую ячейку – служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максими­зировать, минимизировать или установить равным за­данному числу. Эта ячейка должна содержать формулу .

Равной – служит для выбора варианта оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация или Подбор заданного числа). Чтобы установить число, введите его в поле.

Изменяя ячейки – служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле Установить целевую ячейку.

Предположить – используется для автоматического поиска ячеек, влияющих на формулу, ссылка на которую дана в поле Установить целевую ячейку. Результат поиска отображается в поле Изменяя ячейки.

Ограничения – служит для отображения списка граничных условий поставленной задачи.

Добавить - служит для отображения диалогового окна Добавить ограничение.

Изменить - Служит для отображения диалоговое окна Изменить ограничение.

Удалить - Служит для снятия указанного ограничения.

Выполнить – Служит для запуска поиска решения поставленной задачи.

Закрыть – Служит для выхода из окна диалога без запус­ка поиска решения поставленной задачи.

Параметры поиска решения, в котором можно загрузить или сохранить оптимизируемую модель и указать предусмотренные варианты поиска решения.

Восстановить – Служит для очистки полей окна диалога и восстановления значений параметров поиска ре­шения, используемых по умолчанию.

Для решения задачи оптимизации выполните следующие действия.

1. В меню Сервис выберите команду Поиск решения.

2. В поле Установить целевую ячейку введите адрес или имя ячейки, в которой находится формула оптимизируемой модели.

3. Чтобы максимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение максимальному значению.

Чтобы минимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите, переключатель в положение
минимальному значению.

Чтобы установить значение в целевой ячейке равным некоторому числу путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение значению и введите в соответствующее поле требуемое число.

4. В поле Изменяя ячейки введите имена или адреса изменяемых ячеек, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.

Чтобы автоматически найти все ячейки, влияющие на формулу модели, нажмите кнопку Предположить.

5. В поле Ограничения введите все ограничения, накладываемые на поиск решения.

6. Нажмите кнопку Выполнить.

Чтобы восстановить исходные данные, установите переключатель в положение

Этап С. Анализ найденного решения задачи оптимизации.

Для вывода итогового сообщения о результате решения используется диалоговое окно Результаты поиска решения.

Диалоговое окно Результаты поиска решения содержит следующие поля:

Восстановить исходные значения – служит для восста­новления исходных значений влияющих ячеек моде­ли.

Отчеты – служит для указания типа отчета, размещаемого на отдельном листе книги.

Результаты. Используется для создания отчета, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.

Устойчивость. Используется для создания отчета, содер­жащего сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле (поле Установить целе­вую ячейку, диалоговое окно Поиск решения) или в формулах ограничений.

Ограничения. Используется для создания отчета, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их значений, а также нижних и верхних границ. Такой отчет не создается для моделей, зна­чения в которых ограничены множеством целых чисел. Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать влияющая ячейка, в то время как значения остальных влияющих ячеек фиксированы и удовлетворяют наложенным ограничениям. Соответственно, верхним пределом называ­ется наибольшее значение.

Сохранить сценарий – служит для отображения диалогового окна Сохранение сценария, в котором можно сохранить сценарий решения задачи, чтобы использовать его в дальнейшем с помощью диспетчера сценариев MS Excel. В следующих разделах рассмотрим несколько конкретных моделей линейной оптимизации и примеры их решения с помощью MS Excel.

2.4 Задача о планировании производства

Постановка задачи. Предприятие должно производить изделия n видов: и 1 ,и 2 ,...и п , причем количество каждого выпускаемого изделия не должно превысить спрос β 1 , β 2 ,..., β n и одновременно не должно быть меньше запланированных величин b 1 ,b 2 ,...,b n соответственно. На изготовление изделий идет m видов сырья s l ,s 2 ,...,s m , запасы которых ограничены соответственно величинами γ 1 , γ 2 ,..., γ m . Известно, что на изготовление i -го изделия идет а ij единиц j -го сырья. Прибыль, получаемая от реализации изделий u 1 , ,и 2 ,...и п равна соответственно с 1 ,с 2 ,...,с п. Требуется так спланировать производство изделий, чтобы прибыль была максимальной и при этом выполнялся план на производство каждого изделия, но не превышался спрос на него.

Математическая модель. Обозначим за х 1 ,х 2 ,...х n количества единиц изделий u 1 , ,и 2 ,...и п, выпускаемых предприятием. Прибыль, приносимая планом (целевая функция), будет равна:

z = z(x 1 ,x 2 ,...,x n) = с 1 x 1 + c 2 x 2 + ...+c n x n → max. Ограничения на выполнение плана запишется в виде: х i ≥β i для i = 1,2,...,n Чтобы не превысить спрос, надо ограничить выпуск изделий: x i ≤β i для i = 1,2,...n. И, наконец, ограничения на сырье запишутся в виде системы неравенств:

α 11 x 1 + α 12 x 2 +...+ α 1n x n ≤b 1

α 21 x 1 + α 22 x 2 +...+ α 2n x n ≤b 2

................................................

α m1 x 1 + α m2 x 2 +...+ α mn x n ≤b m

при условии, что х 1 ,х 2 ,...х п неотрицательны.

Пример 2.1:

Рассмотрим конкретный пример задачи о планировании производства и приведем последовательность действий, необходимых для ее решения с помощью MS Excel.

Условие задачи. Предприятие выпускает два вида железобетонных изделий: лестничные марши и балконные плиты. Для производства одного лестничного марша требуется израсходовать 3,5 куб.м. бетона и 1 упаковку арматуры, а для производства плиты - 1 куб.м. бетона и 2 упаковки арматуры. На каждую единицу продукции при­ходится 1 человеко-день трудозатрат. Прибыль от прода­жи 1 лестничного марша составляет 200 руб., а одной плиты - 100 руб. На предприятии работает 150 человек, причем известно, что в день предприятие производит не более 350 куб.м. бетона и завозится не более 240 упаковок арматуры. Требуется составить такой производственный план, чтобы прибыль от производимой продукции была максимальной.

Решение.

1. На листе рабочей книги MS Excel заполните таблицу параметров задачи (рис. 2.2).

2. Создайте модель задачи и заполните ячейки для значений переменных (первоначально ячейки х { и х г заполняются произвольными числовыми значениями, например, значением 10), целевой функции (ячейка содержит формулу) и ограничений (ячейки содержат формулы)
(рис. 2.2)

3. Выполните команду Сервис Поиск решения и установите необходимые значения в полях диалогового окна Поиск решения, добавляя ограничения в окне Добавление ограничений.

Замечание. В окне Добавление ограничений при необходимости есть возможность установить ограничения на целочисленность переменных модели.

4. Нажмите на кнопку Выполнить и установите параметры в окне Результаты поиска решения (переключатель Сохранить найденное решение или Восстановить исходные значения и Тип отчета).

Замечание: В случае ошибок в формулах, ограничениях или неверных параметрах модели в данном окне могут появиться следующие сообщения: «Значения целевой ячейки не сходятся», «Поиск не может найти решения» или «Условия линейной модели не выполняются». При этом переключатель следует установить в положение Восстановить исходные значения, проверить данные на листе и процедуру поиска решения проделать заново.

5. В результате в ячейках с переменными задачи по­явятся значения, соответствующие оптимальному плану (80 лестничных маршей и 70 плит перекрытия в день), а в ячейке для целевой функции - значение прибыли (23 000 руб.), соответствующее данному плану (рис. 2.3)

6. Вслучае если полученное решение является удовлетворительным, можно сохранить оптимальный план и ознакомиться с результатами поиска, которые выводятся на отдельный лист.

Упражнение:

Упр. 2.1. Предприятие выпускает телевизоры, стереосистемы и акустические системы, используя общий склад комплектующих. Запасы шасси на складе составляют 450 шт., кинескопов – 250 шт., динамиков – 800 шт., блоков питания – 450 шт., плат – 600 шт. На каждое изделие расходуется количество комплектующих, указанное в таблице:

Прибыль от производства одного телевизора составляет 90 у.е, одной стереосистемы – 50 и аудиосистемы – 45. Необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий, при котором прибыль от производства всей продукции будет максимальной.