Определитель единичной матрицы n го порядка равен. Методы вычисления определителей n-ого порядка

Пусть дана матрица

Определение: Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых является произведением n сомножителей, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А. Знак перед слагаемым определяется по правилу знаков:

Определение: Пусть – произвольная перестановка чисел 1,2,3...n. Говорят, что элементы и образуют инверсию (нарушение порядка), если, а. Перестановка чисел 1,2,3...n называется четной, если число инверсий, образованных ее элементами, четно, в противном случае она называется нечетной.

Чтобы определить знак перед слагаемым, нужно расположить сомножители, в него входящие, в порядке возрастания первых индексов и рассмотреть перестановку, образованную вторыми индексами. Если эта перестановка четная, то ставим ²+², если нечетная, то ²–².

Определение: Рассмотрим перестановку:

Поменяем местами и, получим перестановку:

Говорят, что перестановка В получается из А транспозицией элементов и.

Утверждение: Всякая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную.

Доказательство: Частный случай: транспозиция соседних элементов меняет четность перестановки.

Все элементы перестановок А и В, кроме и, образуют одни и те же инверсии. Элемент с элементами и в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Элемент с элементами и в перестановках А и В образует одни и те же инверсии. Если элементы и в перестановке А не образовывали инверсии, то в В – образуют, если в А – образовывали, то в В уже не будут образовывать. Таким образом, в результате транспозиции соседних элементов число инверсий либо увеличилось, либо уменьшилось на единицу. Четность поменялась.

Общий случай. Чтобы совершить транспозицию двух произвольных элементов перестановки, будем последовательно переставлять соседние элементы. Для того, чтобы поменять местами элементы и, сначала k раз меняем элемент с, ..., затем раз меняем до. Таким образом, перестановка совершается раз. Четность меняется на противоположную.

Утверждение: Рассмотрим все перестановки n символов 1,2,3,...,n. Число четных перестановок равно числу нечетных перестановок и равно .

Доказательство: Выпишем все четные перестановки и зададим отображение с нечетными по правилу:

Все перестановки являются нечетными согласно предыдущей теореме.

Указанное нами отображение является биекцией множества всех четных перестановок на множество всех нечетных перестановок, в самом деле, по указанному правилу каждой четной перестановке ставится в соответствие единственная нечетная, т.е. это отображение, очевидно, инъективно: . Указанное отображение сюрьективно, в самом деле, каждая нечетная перестановка В является образом той четной перестановки А, которая получается из В заменой в В местами первого и второго символов, следовательно, отображение биективно, следовательно, число четных перестановок равно числу нечетных равно.

Определение: Всякое биективное отображение множества на себя называется подстановкой.

Подстановку, заданную на множестве 1,2,3,...,n удобно записывать виде: или, где первая и вторая строчки – подстановки.

Подстановка определяется с точностью до расположения столбцов: если в подстановке поменять местами любые два столбца, то получится та же подстановка.

Определение: Подстановка называется четной, если перестановки, записанные в первой и второй строчках либо обе четные, либо обе нечетные. В противном случае подстановка называется нечетной. Четность подстановки не изменится, если поменять в ней любые два столбца, следовательно, число четных подстановок равно числу нечетных, равно.

Теперь правило знаков в определении определителя можно сформулировать так: – произведение n сомножителей, взятых по одному из различных строчек и различных столбцов. Рассмотрим подстановку. Если она четная, то перед слагаемым ставится знак ²+², если нечетная, то ²–².

Пример:

1) Пусть дана матрица, тогда через обозначим транспонированную матрицу:

Докажем, что определитель равен определителю А. ().

Доказательство: Рассмотрим слагаемое входящее в det A. Элемент а является произведением сомножителей, принадлежащих разным строкам и столбцам матрицы А, и, следовательно, разным строкам и столбцам матрицы, следовательно, каждый элемент является слагаемым и в и наоборот. Знак элемента а в определителе определяется четностью подстановки, а в – четностью подстановки. Но эти две подстановки одновременно либо четные либо нечетные.

2) Если в определителе все элементы какой-либо, скажем i-ой строки равны 0, то этот определитель равен 0.

Доказательство: В самом деле, по определению определителя все элементы нулевой строки будут входить в каждое слагаемое, из которых состоит определитель, следовательно, определитель есть сумма n! нулей.

3) Если в определителе поменять местами i и j строчки, то его значение изменится на противоположный.

В самом деле, пусть получена из матрицы а заменой двух строк: i и j. Все слагаемые вида входят и в определитель матрицы А и в определитель матрицы, знак перед этим слагаемым определяется с помощью подстановки: , а знак перед этим же слагаемым в определяется с помощью подстановки

Эти подстановки различной четности.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с

Лекция №8 (2 семестр)

Тема: Ранг матрицы. Базисные строки – база векторов – строк. Определитель Грамма и линейная зависимость.

Определение: Дана матрица

Пусть в А выделены строчки с номерами и столбцы. Элементы, стоящие на пересечении выбранных столбцов и строк образуют матрицу k-того порядка. Определитель М этой матрицы называется минором k-того порядка. Если в матрице А вычеркнуты выбранные строки и столбцы, то оставшиеся элементы образуют матрицу n-k-того порядка. Определитель этой матрицы называется дополнительным минором к минору М.

Определение: Пусть выбраны строки с номерами и столбцы с номерами. Выражение называется алгебраическим дополнением минора М.

Теорема Лапласа: Пусть в квадратной матрице А выбраны k строк с номерами , где . Сумма произведений всевозможных миноров k-того порядка, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения равны определителю матрицы А.

Очевидно, что для системы из n линейных уравнений с n неизвестными получим матрицу коэффициентов размером :

Введем понятие определителя n -го порядка.

Определение 4.1:

Определителем n -го порядка называется число равное

Сумме n ! слагаемых;

Каждое слагаемое есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца;

Каждое слагаемое берется со знаком «+», если перестановка из вторых индексов четная, и со знаком «-», если перестановка из вторых индексов нечетная, при условии, что первые индексы образуют натуральный ряд чисел.

Т.о.

Здесь å берется по всем возможным перестановкам , составленным из чисел 1,2,…,n .

5. Основные свойства определителей.

Установим основные свойства определителей, которые для простоты будем показывать на определителе 2-го порядка.

1. При замене строк соответствующими столбцами (именуемой транспони­рованием ) определитель остается неизменным. Действительно:

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Примечание : Полученный выше результат дает нам право утверждать, что строки и столбцы определителя, именуемые в дальней­шем рядами, равноправны.

2. При перестановке двух рядов определитель меняет знак на противоположный.

Действительно, Поменяем местами строки и вычислим определитель

что и требовалось доказать.

3. Если в определителе два параллельных ряда одинаковы, то он равен нулю. Действительно, поменяем местами две одинаковых строки. Тогда величина определителя не изменится, а знак в силу свойства 2. поменяется. Единственное число, которое не меняется при изменении знака – ноль.

4. Общий множитель членов любого ряда можно вынести за знак определителя.

Что и требовалось доказать.

5. Если все элементы любого ряда являются суммами одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами рассматриваемого ряда служат отдельные слагаемые.

что и требовалось доказать.

6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на не­которое число.

Умножим вторую строку на и прибавим ее к первой строке:

Действительно, в силу свойств 3,4,5

=

что и требовалось доказать.

6. Миноры и алгебраические дополнения элементов оп­ределителя.

Рассмотрим определитель n -го порядка:

.

Выделим в определителе i -ю строку и j -й столбец. На пересечении этих рядов стоит элемент

Если в определителе мы вычеркнем i -юстроку и j -йстолбец, то получим определитель по­рядка п -1 (т. е. имеющий порядок, на единицу меньший по сравнению с исходным определителем), называемый мино­ром элемента определителя . Будем обозначать мино­р элемента символом .

Определение 6.1. А лгебраическим дополнением эле­мента определителя называется минор , взятый со знаком , и обозначается символом . Согласно определению получим

.

Пример 6.1. Найти минор и алгебраическое дополнение определителя

Определитель n-го порядка

Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде

И вычисляемым по данным числам (действительным или комплексным) - элементам определителя

Схемы вычисления определителей 2-ого и 3-его порядков

Теорема Крамера.

Пусть (дельта)-определитель матрицы системы А,а (дельта)i-определитель матрицы,получается из матрицы А заменой j-го столбца столбцов свободных чисел.Тогда,если (дельта) не равна 0,то система имеет единственное решение,определяемое во формуле:

1.Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле

2. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка (см. рис. 1 и рис. 2).

Свойство определителей

1.Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей,то её определитель равен 0.

2.Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на чило (лямбда),то её определитель умножится на это число (лямбда).

3.При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

Транспонирование -в математике,это преобразование квадратной матрицы-замена столбцов на строки или наоборот.

4.При перестановки двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.

5.Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца),то её определитель равен 0

6.Если элементы двух строк (столбцов)матрицы пропорциональны,то её определитель равен 0

7.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равно 0

8.Определитель матрицы не изменяется,если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца),предварительно умноженные на одно и то же число.

9.Сумма произведений чисел b1,b2,...,bn на алгебраические дополнение элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы,полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) b1,b2,...bn.

10.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей |C|=|А|*|B|,где С=А*В;А и В-матрицы n-го порядка.

Определители, их свойства и вычисление

1.Определители второго и третьего порядков; их вычисление .

Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица.

Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки

Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки

Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно.

Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали .

Определители n-го порядка; миноры и алгебраические дополнения. Свойства и вычисление определителей n-го порядка.

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице
, называется алгебраическая сумма слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае.
Замечание: Объясним это определение на примере определителя третьего порядка, для которого уже известна формула вычисления.
.
1) «алгебраическая сумма слагаемых» - . И да, действительно, здесь шесть слагаемых.
2) «слагаемыми служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца» - рассмотрим например слагаемое . Его первый множитель взят из второй строки, второй – из первой, а третий из третьей. То же самое и со столбцами – первым множитель из первого столбца, второй из третьего, а последний из второго.
3) «причем слагаемое берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус – в противоположном случае» - рассмотрим для примера слагаемые (со знаком плюс) и (со знаком минус).

Составим перестановки так, что в первой строке будут номера строк сомножителей, а во второй – номера столбцов.
Для слагаемого : (первый столбец – индекс первого сомножителя и т.д.)
Для слагаемого : .
Определим четность этих перестановок:
а) - элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара,
3 левее 1 – одна пара.
Итого две пары, т.е. количество пар четно, значит перестановка четная, а значит, слагаемое должно входить в сумму со знаком плюс (как оно и есть на самом деле).
б) - элементы в первой строке стоят по порядку. Во второй строке не по порядку стоят пары:
2 левее 1 – одна пара.
Итого, количество пар чисел, стоящих так, что большее левее меньшего – 1 шт., т.е. нечетно, а значит и перестановка называется нечетной, и соответствующее слагаемое должно входить в сумму со знаком минус (да, это так).

Минором элемента матрицы n -го порядка называется определитель матрицы (n-1) -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ

1. Понятие определителя n-го порядка.

2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

3. Теорема Лапласа.

4. Матрицы и их виды. Действия над матрицами.

5. Обратная матрица.

6. Ранг матрицы.

1. Понятие определителя n-го порядка.

Определитель n-го порядка записывается в виде квадратной таблицы, содержащей n строк и n столбцов:

Числа а ij - элементы определителя, i – номер строки, j –номер столбца, n - порядок определителя.

Диагональ определителя, состоящая из элементов с одинаковыми индексами, называется главной , а другая называется побочной .

Определителем n-го порядка называется число, являющееся алгебраической суммой n! членов, каждый из которых есть произведение n элементов, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем знак всякого члена определяется входящими в его состав элементами.

Основные свойства определителей n - го порядка.

1. При замене строк столбцами значение определителя не меняется.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

4. Если определитель имеет две одинаковые или пропорциональные строки (столбца), то такой определитель равен нулю.

5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

6. Значение определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

7. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) являются линейной комбинацией соответствующих элементов двух (или нескольких) других строк (столбцов), то такой определитель равен нулю.

2. Методы вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

Величину называют определителем (детерминантом) второго порядка и обозначают .

Таким образом,

Определителем третьего порядка называют величину

Эта формула называется правилом Сарруса (правило «треугольников») для вычисления определителей 3-го порядка. Для лучшего запоминания формулы можно составить таблицу Сарруса, добавив к определителю первый и второй столбцы. Тогда все члены будут представлять собой произведение элементов по диагоналям.

Примеры: Вычислить определители:

а)

3. Теорема Лапласа.

Вычисление определителей более высоких порядков непосредственно весьма сложно, поэтому для их вычисления используют свойства определителей, а также теорему Лапласа, позволяющую понижать порядок данного определителя.

Пусть дан определитель:

Вычеркнем в этом определителе i-ую строку и j-ый столбец, на пересечении которых находится элемент а ij . Тогда получим определитель M ij

(n-1) – го порядка, который называют минором элемента а ij .

Алгебраическим дополнением А ij элемента а ij называют минор этого элемента, взятый со знаком (+), если сумма индексов i+j – четное число, и со знаком (-), если эта сумма – число нечетное, т.е.

А ij = (-1) i + j M ij

Пример. Дан определитель третьего порядка

Найти минор и алгебраическое дополнение элемента а 32 .

Решение. ,

Теорема Лапласа: Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения равна определителю, т.е.

Эта теорема дает возможность разложить определитель по элементам какой-нибудь строки или столбца и свести его вычисление к вычислению определителей более низкого порядка. При этом вычисление определителя значительно упрощается, если среди элементов некоторой строки (столбца) имеются нули.

4. Матрицы и их виды. Действия над матрицами.

Матрицей размерности kxn называется прямоугольная таблица чисел:

.

Числа а ij называются ее элементами. В компактном виде матрицу можно записать:, i=1, …, k, j=1, …, n. Матрицы обозначаются заглавными буквами А,В,С, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией.

Виды матриц.

Матрица называется квадратной n -го порядка , если число строк равно числу столбцов и равно n.

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой .

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Если в матрице А переставить строки и столбцы местами, то получим новую матрицу А Т транспонированную к матрице А:

Матрица, у которой все элементы равны 0, называется нулевой.

Квадратная матрица, у которой элементы вдоль главной диагонали равны 1, а остальные – нули, называется единичной матрицей. Она обозначается буквой Е.

Квадратная матрица n-го порядка называется вырожденной (особенной) , если определитель n-го порядка, составленный из ее элементов, равен нулю. Если же этот определитель отличен от нуля, то матрица называется невырожденной (неособенной).

Две матрицы называются равными , если соответствующие элементы их тождественно равны.

Действия над матрицами.

1. Сложение (вычитание) матриц .

Две матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы, имеющие одно и то же число строк и одно и то же число столбцов, можно сложить (вычесть). При этом под суммой (разностью) двух матриц понимают новую матрицу, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов данных матриц.

2. Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент данной матрицы умножить на это число.

3. Умножение матриц.

Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы .

Произведением матрицы А на матрицу В называется новая матрица С, у которой элемент с ijj , стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на элементы j-го столбца матрицы В. Матрица С имеет столько строк, сколько матрица А, и столько столбцов, сколько матрица В. Правило умножения матриц называют « строка на столбец ».

Замечание : операция умножения матриц в общем случае не перестановочна , т.е. АВ ≠ ВА.

Пример. Найти произведение матриц А и В: С=АВ,

где, .