Шаблон эксель для линейного программирования. Задачи линейного программирования, решение средствами MS Excel. Задания для лабораторной работы

Инструментом для решений задач оптимизации в MS Excel служит надстройка Поиск решения . Процедура поиска решения позволяет найти оптимальное значение формулы, содержащейся в ячейке, которая называется целевой. Эта процедура работает с группой ячеек, прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить по формуле, содержащейся в целевой ячейке, заданный результат, процедура изменяет значения во влияющих ячейках.

Если данная надстройка установлена, то Поиск реше­ния запускается из меню Сервис . Если такого пункта нет, следует выполнить команду Сервис → Надстройки... и вы­ставить флажок против надстройки
Поиск решения (рис.2.1).

В окне Поиск решения имеются следующие поля:

Установить целевую ячейку – служит для указания целевой ячейки, значение которой необходимо максими­зировать, минимизировать или установить равным за­данному числу. Эта ячейка должна содержать формулу .

Равной – служит для выбора варианта оптимизации значения целевой ячейки (максимизация, минимизация или Подбор заданного числа). Чтобы установить число, введите его в поле.

Изменяя ячейки – служит для указания ячеек, значения которых изменяются в процессе поиска решения до тех пор, пока не будут выполнены наложенные ограничения и условие оптимизации значения ячейки, указанной в поле Установить целевую ячейку.

Предположить – используется для автоматического поиска ячеек, влияющих на формулу, ссылка на которую дана в поле Установить целевую ячейку. Результат поиска отображается в поле Изменяя ячейки.

Ограничения – служит для отображения списка граничных условий поставленной задачи.

Добавить - служит для отображения диалогового окна Добавить ограничение.

Изменить - Служит для отображения диалоговое окна Изменить ограничение.

Удалить - Служит для снятия указанного ограничения.

Выполнить – Служит для запуска поиска решения поставленной задачи.

Закрыть – Служит для выхода из окна диалога без запус­ка поиска решения поставленной задачи.

Параметры поиска решения, в котором можно загрузить или сохранить оптимизируемую модель и указать предусмотренные варианты поиска решения.

Восстановить – Служит для очистки полей окна диалога и восстановления значений параметров поиска ре­шения, используемых по умолчанию.

Для решения задачи оптимизации выполните следующие действия.

1. В меню Сервис выберите команду Поиск решения.

2. В поле Установить целевую ячейку введите адрес или имя ячейки, в которой находится формула оптимизируемой модели.

3. Чтобы максимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение максимальному значению.

Чтобы минимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите, переключатель в положение
минимальному значению.

Чтобы установить значение в целевой ячейке равным некоторому числу путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение значению и введите в соответствующее поле требуемое число.

4. В поле Изменяя ячейки введите имена или адреса изменяемых ячеек, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.

Чтобы автоматически найти все ячейки, влияющие на формулу модели, нажмите кнопку Предположить.

5. В поле Ограничения введите все ограничения, накладываемые на поиск решения.

6. Нажмите кнопку Выполнить.

Чтобы восстановить исходные данные, установите переключатель в положение

Этап С. Анализ найденного решения задачи оптимизации.

Для вывода итогового сообщения о результате решения используется диалоговое окно Результаты поиска решения.

Диалоговое окно Результаты поиска решения содержит следующие поля:

Восстановить исходные значения – служит для восста­новления исходных значений влияющих ячеек моде­ли.

Отчеты – служит для указания типа отчета, размещаемого на отдельном листе книги.

Результаты. Используется для создания отчета, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.

Устойчивость. Используется для создания отчета, содер­жащего сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле (поле Установить целе­вую ячейку, диалоговое окно Поиск решения) или в формулах ограничений.

Ограничения. Используется для создания отчета, состоящего из целевой ячейки и списка влияющих ячеек модели, их значений, а также нижних и верхних границ. Такой отчет не создается для моделей, зна­чения в которых ограничены множеством целых чисел. Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать влияющая ячейка, в то время как значения остальных влияющих ячеек фиксированы и удовлетворяют наложенным ограничениям. Соответственно, верхним пределом называ­ется наибольшее значение.

Сохранить сценарий – служит для отображения диалогового окна Сохранение сценария, в котором можно сохранить сценарий решения задачи, чтобы использовать его в дальнейшем с помощью диспетчера сценариев MS Excel. В следующих разделах рассмотрим несколько конкретных моделей линейной оптимизации и примеры их решения с помощью MS Excel.

2.4 Задача о планировании производства

Постановка задачи. Предприятие должно производить изделия n видов: и 1 ,и 2 ,...и п , причем количество каждого выпускаемого изделия не должно превысить спрос β 1 , β 2 ,..., β n и одновременно не должно быть меньше запланированных величин b 1 ,b 2 ,...,b n соответственно. На изготовление изделий идет m видов сырья s l ,s 2 ,...,s m , запасы которых ограничены соответственно величинами γ 1 , γ 2 ,..., γ m . Известно, что на изготовление i -го изделия идет а ij единиц j -го сырья. Прибыль, получаемая от реализации изделий u 1 , ,и 2 ,...и п равна соответственно с 1 ,с 2 ,...,с п. Требуется так спланировать производство изделий, чтобы прибыль была максимальной и при этом выполнялся план на производство каждого изделия, но не превышался спрос на него.

Математическая модель. Обозначим за х 1 ,х 2 ,...х n количества единиц изделий u 1 , ,и 2 ,...и п, выпускаемых предприятием. Прибыль, приносимая планом (целевая функция), будет равна:

z = z(x 1 ,x 2 ,...,x n) = с 1 x 1 + c 2 x 2 + ...+c n x n → max. Ограничения на выполнение плана запишется в виде: х i ≥β i для i = 1,2,...,n Чтобы не превысить спрос, надо ограничить выпуск изделий: x i ≤β i для i = 1,2,...n. И, наконец, ограничения на сырье запишутся в виде системы неравенств:

α 11 x 1 + α 12 x 2 +...+ α 1n x n ≤b 1

α 21 x 1 + α 22 x 2 +...+ α 2n x n ≤b 2

................................................

α m1 x 1 + α m2 x 2 +...+ α mn x n ≤b m

при условии, что х 1 ,х 2 ,...х п неотрицательны.

Пример 2.1:

Рассмотрим конкретный пример задачи о планировании производства и приведем последовательность действий, необходимых для ее решения с помощью MS Excel.

Условие задачи. Предприятие выпускает два вида железобетонных изделий: лестничные марши и балконные плиты. Для производства одного лестничного марша требуется израсходовать 3,5 куб.м. бетона и 1 упаковку арматуры, а для производства плиты - 1 куб.м. бетона и 2 упаковки арматуры. На каждую единицу продукции при­ходится 1 человеко-день трудозатрат. Прибыль от прода­жи 1 лестничного марша составляет 200 руб., а одной плиты - 100 руб. На предприятии работает 150 человек, причем известно, что в день предприятие производит не более 350 куб.м. бетона и завозится не более 240 упаковок арматуры. Требуется составить такой производственный план, чтобы прибыль от производимой продукции была максимальной.

Решение.

1. На листе рабочей книги MS Excel заполните таблицу параметров задачи (рис. 2.2).

2. Создайте модель задачи и заполните ячейки для значений переменных (первоначально ячейки х { и х г заполняются произвольными числовыми значениями, например, значением 10), целевой функции (ячейка содержит формулу) и ограничений (ячейки содержат формулы)
(рис. 2.2)

3. Выполните команду Сервис Поиск решения и установите необходимые значения в полях диалогового окна Поиск решения, добавляя ограничения в окне Добавление ограничений.

Замечание. В окне Добавление ограничений при необходимости есть возможность установить ограничения на целочисленность переменных модели.

4. Нажмите на кнопку Выполнить и установите параметры в окне Результаты поиска решения (переключатель Сохранить найденное решение или Восстановить исходные значения и Тип отчета).

Замечание: В случае ошибок в формулах, ограничениях или неверных параметрах модели в данном окне могут появиться следующие сообщения: «Значения целевой ячейки не сходятся», «Поиск не может найти решения» или «Условия линейной модели не выполняются». При этом переключатель следует установить в положение Восстановить исходные значения, проверить данные на листе и процедуру поиска решения проделать заново.

5. В результате в ячейках с переменными задачи по­явятся значения, соответствующие оптимальному плану (80 лестничных маршей и 70 плит перекрытия в день), а в ячейке для целевой функции - значение прибыли (23 000 руб.), соответствующее данному плану (рис. 2.3)

6. Вслучае если полученное решение является удовлетворительным, можно сохранить оптимальный план и ознакомиться с результатами поиска, которые выводятся на отдельный лист.

Упражнение:

Упр. 2.1. Предприятие выпускает телевизоры, стереосистемы и акустические системы, используя общий склад комплектующих. Запасы шасси на складе составляют 450 шт., кинескопов – 250 шт., динамиков – 800 шт., блоков питания – 450 шт., плат – 600 шт. На каждое изделие расходуется количество комплектующих, указанное в таблице:

Прибыль от производства одного телевизора составляет 90 у.е, одной стереосистемы – 50 и аудиосистемы – 45. Необходимо найти оптимальное соотношение объемов выпуска изделий, при котором прибыль от производства всей продукции будет максимальной.

Лабораторная работа "Использование средства Поиск решения"

Задание:

Решить в Excel все приведенные ниже задачи (каждую на отдельном листе) и сохранить решения в файле LAB4.xls на своем пользовательском диске.

Задача 1 1

Решение задачи линейного программирования с помощью EXCEL. 2

Задача 2 4

Задача планирования производства красок 4

Задача 3 5

Решение транспортной задачи с помощью средства Поиск решения 5

Задача 1

Задача распределения ресурсов.

Если финансы, оборудование, сырье и даже людей полагать ресурсами, то значительное число задач в экономике можно рассматривать как задачи распределения ресурсов. Достаточно часто математической моделью таких задач является задача линейного программирования.

Например:

Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведена ниже.Составим математическую модель, для чего введем следущие обозначения:

x j - количество выпускаемой продукции j-го типа, j=1,4 ;

b i - количество располагаемого ресурса i-го вида, i=1,3 ;

a ij - норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа;

c j - прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.

Теперь приступим к составлению модели.

Для выпуска единицы Прод1 требуется 6 единиц сырья, значит, для выпуска всей продукции Прод1 требуется 6 х 1 единиц сырья, где х 1 - количество выпускаемой продукции Прод1. С учетом того, что для других видов продукции зависимости аналогичны, ограничение по сырью будет иметь вид:

6х 1 +5х 2 +4х 3

В этом ограничении левая часть равна величине потребного ресурса, а правая показывает количество имеющегося ресурса. Аналогично можно составить ограничения для остальных ресурсов и написать зависимость для целевой функции. Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

F=60x 1 +70x 2 +120x 3 +130x 4 --> max

x 1 +x 2 +x 3 +x 4

6x 1 +5x 2 +4x 3 +3x 4

4x 1 +6x 2 +10x 3 +13x 4

x j >=0; j=1,4

Решение задачи линейного программирования с помощью EXCEL.

1
. Сделать активной ячейку F6.

2. Мастер функций  Математические  СУММПРОИЗВ  на жмите кнопку Далее. На экране диалоговое окно

3. Введите зависимости для левых частей ограничений.

Работа в диалоговом окне Поиск решения.

1

. Сервис, Поиск решения...

2 . Курсор в поле Установить целевую ячейку и введите адрес F6.

3 . Введите направление целевой функции: Максимальному значению .

4 . Курсор в поле Изменяя ячейки и введите адреса B3:E3

5. Нажмите кнопку Добавить... и в ведите граничные условия на переменные

6. После ввода ограничений, нажмите кнопку Выполнить . В результате вычислений в ячейках В3:Е3, будут отражены найденные числовые значения х i , а в ячейке F6 – значение целевой функции.

Т.О, видно, что в оптимальном решении Прод1=В3=10, Прод2=С3=0, Прод3=D3=6, Прод4=Е3=0.

При этом максимальная прибыль будет составлять F6=1320 , количество использованных ресурсов равно трудовых=F9=16, сырья=F10=84, финансов=F11=100.

С помощью диалогового окна Результат поиска решения. Решение найдено можно получить отчеты трех типов: результаты, устойчивость, пределы.

Задача 2

Задача планирования производства красок

Для производства красок для наружных и внутренних работ используют два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно.

Суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышает спроса на краску для наружных работ более чем на 1т.

Спрос на краску для внутренних работ не превышает 2т. в сутки.

Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 руб. для краски для наружных работ и 2000 руб. для краски для внутренних работ .

Какое количество краски каждого вида следует производить, чтобы доход от реализации был максимальным?

Расходы продуктов А и В на 1т. приведены в таблице:

х 1 - суточный объем производства краски для внутренних работ

х 2 - суточный объем производства краски для наружных работ

f -суммарная суточная прибыль от производства обоих видов красок (целевая функция)

f = 3000х 1 +2000х 2

Определить при каких допустимых значениях х 1 и х 2 значение f - максимальное

Ограничения:

Решение задачи в Excel

Выполните: Cервис, Поиск решения

Целевая ячейка С4

Установить: М аксимальному значению

Изменяемые ячейки: А3:В3

Ограничения:

После ввода данных нажмите кнопку Выполнить

Полученное решение:

Вывод: оптимальным является производство 3,3 т. краски для наружных работ и 1,3 т. краски для внутренних работ в сутки. Этот объем принесет прибыль 12,7 тыс. руб.

Задача 3

Решение транспортной задачи с помощью средства Поиск решения

Фирма имеет четыре фабрики: А, В, С, D и пять центров распределения ее товаров: №1, №2, №3, №4, №5.

Производственные возможности фабрик соответственно составляют:

А – 200, В – 150, С – 225, D – 175 единиц продукции ежедневно.

Потребности центров распределения соответственно составляют:

№1 – 100, №2 – 200, №3 – 50, №4 – 250, №5 – 150 единиц продукции ежедневно.

Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, составляет $0,75 в день.

Штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центре распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день.

Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения представлена в таблице:

Спланировать перевозки так, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Модель рассматриваемой задачи сбалансирована (суммарный объем произведенной продукции равен суммарному объему потребностей в ней), значит не нужно учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками продукции. В противном случае в модель следует ввести:

В случае перепроизводства – фиктивный пункт распределения, стоимость перевозок единицы продукции, в который полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок – объемам складирования излишков продукции на фабриках.

В случае дефицита – фиктивную фабрику, стоимость перевозок единицы продукции с которой полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок – объемам недопоставок продукции в пункты распределения.

x ij – объем перевозок с i-й фабрики в j-й центр распределения.

c ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-й фабрики в j-й центр распределения.

а i – объем производства на i-й фабрике.

в j – спрос в j-м центре распределения.

Т

ребуется минимизировать суммарные транспортные расходы, т.е.

Ограничения:

x



ij  0 , i  , j 

Механизм решения задачи в Excel с использованием средства Поиск решения

В ячейки А1:Е4 введите стоимости перевозок.

А6:Е9 – отведите под значения неизвестных (объемы перевозок).

В ячейки G6:G9 введите объемы производства на фабриках.

В А11:Е11 – потребность в продукции в пунктах распределения.

В ячейку F10 – введите целевую функцию

В А10:Е10 –введите формулы, определяющие объем продукции, ввозимой в центры распределения

В F6: F9 – формулы, вычисляющие объем продукции, вывозимой с фабрик.

Сервис  Поиск решения

В окне диалога Поиск решения:
Установить целевую ячейку $F$10
Равной мин имальному значению
Изменяя ячейки: $А$6:$E$9
Ограничения:
$А$10:$E$10=$A$11:$E$11
$А$6:$E$9>=0
$F$6:$F$9=$G$6:$G$9

Щелкните на кнопке Параметры… и установите флажок Линейная модель

Нажмите кнопку Выполнить

Оптимальное решение транспортной задачи будет отражено в диапазоне А6:Е9

Решите транспортную задачу самостоятельно, используя выше описанный механизм.

Для решения задач линейного программирования симплекс-методом в среде MS Excel заполняются ячейки исходными данными в режиме чисел и формулами математической модели.

MS Excel позволяет получить оптимальное решение без ограничения размерности системы неравенств целевой функции.

Решим задачу о выпускаемых изделиях симплекс-методом применяя надстройку «Поиск решения» в MS Excel.

1. Заполните таблицу Excel в режиме чисел (рис.1)

2. Заполните таблицу Excel в режиме формул (рис.2)

Рис.1 Таблица в режиме чисел

Рис.1 Таблица в режиме формул

Здесь: В9:С9 – результат (оптимальное количество изделий каждого вида);

В6:С6 – коэффициенты целевой функции;

В10 – значение целевой функции;

В3:С5 – коэффициенты ограничений;

D12:D14 – правая часть ограничений;

B12:B14 – вычисляемые (фактические) значения левой части ограничений.

Решим задачу с помощью команды Данные/Поиск решения. На экране появляется диалоговое окно Поиск решения.

В поле Установить целевую функция будет показана ссылка на активную ячейку, т.е. на В10. Причем эта ссылка абсолютная. В секции Равной устанавливаем переключатель Максимальному (минимальному) значению в зависимости от целевой функции. Ограничения устанавливаются с помощью кнопки Добавить, которая вызывает диалоговое окно их ввода Добавление ограничения.

В поле ввода Ссылка на ячейку: указывается адрес ячейки, содержащей формулу левой части ограничения. Затем выбирается из списка знак соотношения. В поле Ограничение указывается адрес ячейки, содержащей правую часть ограничения. Щёлкаем на кнопку Добавить и повторяем до следующего ограничения. После ввода всех ограничений нажимаем ОК.

Так как все переменные несут условия неотрицательности, то их положительность задается через кнопку Параметры в окне диалога Поиск решения. После щелчка по ней, на экране окно Параметры поиска решения.

Устанавливаем флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выбрать Метод решения Поиск решения линеных задач симплекс-методом. Щёлкаем на кнопке Найти решение.

Excel предъявит окно Результаты поиска решения с сообщением о том, что решение найдено, или о том, что не может найти подходящего решения.

Если вычисления оказались успешными, Excel предъявит следующее окно итогов. Их можно сохранить или отказаться. Кроме того, можно получить один из трёх видов отчётов (Результаты, Устойчивость, Пределы), позволяющие лучше осознать полученные результаты, в том числе, оценить их достоверность.

После найденного решения, в ячейках В9:С9 появится оптимальное количество изделий каждого вида.

При сохранении отчета выберите – Отчет по результатам (рис.3).

Из отчета видно, что ресурс 1 не используется полностью на 150 кг, а ресурс 2 и 3 используется полностью.

В результате получен оптимальный план, при котором изделий 1 вида необходимо выпустить в количестве 58 шт., а изделий 2 вида в количестве 42 шт. При этом прибыль от их реализации максимальная и составляет 4660 тыс.руб.

Рис.3 Отчет по результатам

1. Со станции формирования ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда, составленные из плацкартных, купейных и мягких вагонов. Число мест в плацкартном вагоне – 54, в купейном – 36, в мягком – 18. В таблице указаны состав поезда каждого типа и количество имеющихся в парке вагонов различного типа. Определить число скорых и пассажирских поездов, которые необходимо формировать ежедневно, чтобы число перевозимых пассажиров было максимальным.

Решение транспортных задач

Транспортными задачами называются задачи определения оптимального плана перевозок груза из данных пунктов отправления в заданные пункты потребления.

	b 1	b 2	…	b k	…	b g
a 1	} Похожие публикации WinRar - программа для открытия архивов всех известных форматов Вылетает и зависает Safari в OS X Yosemite — как исправить? Презентация на тему марк цукерберг 3 внешняя обработка форма отчета открыть