Составление дополнительного ограничения метод гомори. Метод Гомори решения задач целочисленного программирования. Примеры решения экономических задач

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор применяется для решения задач целочисленного линейного программирования методом отсечений. В ходе решения используются симплексные таблицы. (см. пример).

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример решения методом Гомори). Дополнительно создается шаблон решения в формате Excel .

Виды алгоритма Гомори

1. Первый алгоритм Гомори решения полностью целочисленных задач.
2. Второй алгоритм Гомори для частично целочисленных задач линейного программирования .

Алгоритм Гомори для полностью целочисленных задач включает в себя следующие этапы:

1. Решается задача линейного программирования без учета целочисленности.
2. Среди дробных чисел выбирается элемент с наибольшей дробной частью и составляется дополнительное ограничение.
3. Неравенство преобразуется в уравнение путем введения дополнительной неотрицательной переменной.
4. Полученная задача решается двойственным симплекс-методом .

Пример . Научно-производственное объединение «Стрела» занимается изготовлением комплектующих изделий для предприятий ВПК. При изготовлении изделий типа А и типа В используются сталь и цветные металлы. Технологический процесс также включает обработку изделий на токарных и фрезерных станках. По технологическим нормам на производство одного изделия типа А и одного изделия типа В требуется определенное количество сырья и некоторый объем станко-часов для обработки на станках в цеху. Технологические данные производственного процесса приведены в таблице.
В течение месяца цеха НПО «Стрела» располагает ограниченными ресурсами по сырью и по времени работы в производственных цехах (см. таблицу). Прибыль от реализации одного изделия типа А составляет 100 руб., а от единицы изделия типа В - 250 руб.

Найти оптимальный план производства для НПО «Стрела» (количество изделия типа А и типа В - целые числа), дающий наибольшую прибыль.

Решение.
Экономико-математическая модель задачи.
x 1 - план производства изделий типа А, x 2 - план производства изделий типа В,
x 1, x 2 - целые числа.
Ограничения по ресурсам
10x 1 + 30x 2 ≤ 4500
25x 1 + 25x 2 ≤ 6250
41x 1 + 90x 2 ≤ 14100
90x 1 + 50x 2 ≤ 18000
Целевая функция
100x 1 + 250x 2 → max

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом . В результате получаем следующий оптимальный план:

Полученный оптимальный план не является целочисленным, поэтому применяем метод Гомори . Наибольшая дробная часть находится во втором уравнении у переменной x 4 (10 / 11). Составляем дополнительное ограничение:
q 2 - q 21 x 1 - q 22 x 2 - q 23 x 3 - q 24 x 4 - q 25 x 5 - q 26 x 6 ≤0
q 2 = b 2 - = 1590 10 / 11 - 1590 = 10 / 11
q 2 1 = a 2 1 - = 0 - 0 = 0
q 2 2 = a 2 2 - = 0 - 0 = 0
q 2 3 = a 2 3 - = 3 47 / 66 - 3 = 47 / 66
q 2 4 = a 2 4 - = 1 - 1 = 0
q 2 5 = a 2 5 - = -1 17 / 33 + 2 = 16 / 33
q 2 6 = a 2 6 - = 0 - 0 = 0

10 / 11 - 47 / 66 x 3 - 16 / 33 x 5 ≤ 0

10 / 11 - 47 / 66 x 3 - 16 / 33 x 5 + x 7 = 0

Поскольку двойственный симплекс-метод используется для поиска минимума целевой функции, делаем преобразование F(x) = -F(X).

В полученном оптимальном плане присутствуют дробные числа. По первому уравнению с переменной x 2 , получившей нецелочисленное значение в оптимальном плане с наибольшей дробной частью 7 / 8 , составляем дополнительное ограничение:
q 1 - q 11 x 1 - q 12 x 2 - q 13 x 3 - q 14 x 4 - q 15 x 5 - q 16 x 6 - q 17 x 7 ≤0
q 1 = b 1 - = 131 7 / 8 - 131 = 7 / 8


q 1 3 = a 1 3 - = 27 / 160 - 0 = 27 / 160



q 1 7 = a 1 7 - = -1 / 16 + 1 = 15 / 16
Дополнительное ограничение имеет вид:
7 / 8 - 27 / 160 x 3 - 15 / 16 x 7 ≤ 0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
7 / 8 - 27 / 160 x 3 - 15 / 16 x 7 + x 8 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.

В оптимальном плане присутствуют дробные числа. Наибольшая дробная часть у переменной x 2 (14 / 15). Составляем дополнительное ограничение: q 1 - q 11 x 1 - q 12 x 2 - q 13 x 3 - q 14 x 4 - q 15 x 5 - q 16 x 6 - q 17 x 7 - q 18 x 8 ≤0
q 1 = b 1 - = 131 14 / 15 - 131 = 14 / 15
q 1 1 = a 1 1 - = 0 - 0 = 0
q 1 2 = a 1 2 - = 1 - 1 = 0
q 1 3 = a 1 3 - = 9 / 50 - 0 = 9 / 50
q 1 4 = a 1 4 - = 0 - 0 = 0
q 1 5 = a 1 5 - = 0 - 0 = 0
q 1 6 = a 1 6 - = 0 - 0 = 0
q 1 7 = a 1 7 - = 0 - 0 = 0
q 1 8 = a 1 8 - = -1 / 15 + 1 = 14 / 15
Дополнительное ограничение имеет вид:
14 / 15 - 9 / 50 x 3 - 14 / 15 x 8 ≤ 0
Преобразуем полученное неравенство в уравнение:
14 / 15 - 9 / 50 x 3 - 14 / 15 x 8 + x 9 = 0
коэффициенты которого введем дополнительной строкой в оптимальную симплексную таблицу.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра вычислительной техники и информационных технологий

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ МЕТОДОМ ГОМОРИ

Методические указания и задания к практическим занятиям по курсу

«Экономико-математические методы» для студентов экономических специальностей

Составитель Н.Ю.Коломарова

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 5 от 30.11.99

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2000

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Существует ряд задач оптимального планирования, в которых переменные могут принимать лишь целочисленные значения. Такие задачи связаны с определением количества единиц неделимой продукции, числа станков при загрузке оборудования, численности работников в структурных подразделениях предприятия и т.д. Достаточно часто возникают задачи с так называемыми булевыми переменными, решениями которых являются суждения типа «да-нет». Если функция и ограничения в таких задачах линейны, то мы говорим о задаче линейного целочисленного программирования.

Задача линейного целочисленного программирования формулиру-

ется следующим образом: найти такое решение (план)

Х = (x1 , x2 , ..., xn ),

принимает максимальное или минимальное значение при ограничениях

2. МЕТОД ГОМОРИ

Одним из методов решения задач линейного целочисленного программирования является метод Гомори. Сущность метода заключается в построении ограничений, отсекающих нецелочисленные решения задачи линейного программирования, но не отсекающих ни одного целочисленного плана.

Рассмотрим алгоритм решения задачи линейного целочисленного программирования этим методом.

1. Решаем задачу симплексным методом без учета условия целочисленности. Если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования. Если обнаруживается неразрешимость задачи, то и неразрешима задача целочисленного программирования.

2. Если среди компонент оптимального решения есть нецелые, то к ограничениям задачи добавляем новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

Оно должно быть линейным; - должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный

план; - не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Для построения ограничения выбираем компоненту оптимального плана с наибольшей дробной частью и по соответствующей этой компоненте k -й строке симплексной таблицы записываем ограничение Гомори.

плексной таблице, тем самым получаем расширенную задачу. Чтобы получить опорный план этой задачи, необходимо ввести в базис тот

следующей симплексной таблице будет получен опорный план. Если же величина θ не соответствует дополнительной строке, то необходимо

переходить к М-задаче (вводить искусственную переменную в ограничение Гомори).

4. Решаем при помощи обычных симплексных преобразований полученную задачу. Если решение этой задачи приводит к целочисленному оптимальному плану, то искомая задача решена. Если мы получили нецелочисленное решение, то снова добавляем одно дополнительное ограничение, и процесс вычислений повторяется. Проделав конечное число итераций, либо получаем оптимальный план задачи целочисленного программирования, либо устанавливаем ее неразрешимость.

Замечания:

1. Если дополнительная переменная S * вошла в базис, то после пересчета какого-либо последующего плана соответствующие ей строку и столбец можно удалить (тем самым сокращается размерность задачи).

2. Если для дробного x j обнаружится целочисленность всех коэффициентов соответствующего уравнения (строки), то задача не имеет целочисленного решения.

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ГОМОРИ

Задача: Для приобретения нового оборудования предприятие выделяет 19 ден.ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 16 кв.м. Предприятие может заказать оборудование двух видов: машины типа «А» стоимостью 2 ден.ед., требующие производственную площадь 4 кв.м и обеспечивающие производительность за смену 8 т продукции, и машины типа «В» стоимостью 5 ден.ед., занимающие площадь 1 кв.м и обеспечивающие производительность за смену 6 т продукции.

Требуется составить оптимальный план приобретения оборудования, обеспечивающий максимальную общую производительность.

Решение: Обозначим черезx 1 ,x 2 количество машин соответственно типа «А» и «В», черезL - их общую производительность. Тогда математическая модель задачи:

max L = 8 x1 +6 x2

при ограничениях:

x1 , x2 - целые числа

Решаем задачу симплексным методом без учета целочисленности.

Получен оптимальный нецелочисленный план Х опт = (61/18;22/9).

L max = 376/9.

Т.к. у компоненты плана х 2 максимальная дробная часть: max(4/9;7/18) = 4/9, то дополнительное ограничение записываем по первой строке.

22/9 - = (2/9 - )x 3 + (-1/9 - [-1/9])x 4 -S 1 , S 1 ≥0 22/9 - 2 = (2/9 - 0)x 3 + (-1/9 - (-1))x 4 -S 1 , S 1 ≥0

4/9 = 2/9x3 + 8/9x4 - S1 , S1 ≥ 0 - первое ограничение Гомори

Составленное ограничение дописываем к имеющимся в симплексной таблице.

После построения дополнительного ограничения имеем новую задачу линейного программирования, в которой 3 ограничения. Для получения опорного плана этой задачи необходимо найти третий базис-

Минимальное значение θ получено по дополнительной строке, значит, не прибегая к искусственной переменной, получаем опорный план расширенной задачи.

Найденный план оптимален, но нецелочисленный. Строим новое ограничение Гомори.

Т.к. максимальная дробная часть среди компонент плана равна 1/2, записываем дополнительное ограничение по первой строке (можно и по третьей).

5/2 - = (1/4 - )x 3 + (-1/8 - [-1/8])S 1 -S 2 , S 2 ≥0

1/2 = 1/4x3 + 7/8S1 - S2 , S2 ≥ 0 - второе ограничение Гомори

Это ограничение добавляем в последнюю симплексную таблицу.

Получили задачу, в которой 4 ограничения, следовательно, в базисе должно быть 4 единичных вектора.

Получаем новый оптимальный нецелочисленный план. Учитывая замечание 1, вычеркиваем строку и столбец, соответствующие пере-

менной S 1 .

В полученном плане максимальную дробную часть имеет компонента х 2 , поэтому записываем дополнительное ограничение по первой строке.

вектор х 3 . Минимальное значениеθ = 2, что соответствует дополнительной строке.

После проведения очередных симплексных преобразований получили:

План Х 5 - оптимальный нецелочисленный. Дополнительное ограничение запишем по второй строке:

строке, а не по строке Гомори, следовательно, переходим к М-задаче:

План Х 8 = (3; 2; 3; 2) - оптимальный целочисленный.L max = 36.

Экономическая интерпретация: согласно полученному решению предприятию необходимо закупить 3 машины типа «А» и 2 машины типа «В». При этом будет достигнута максимальная производительность работы оборудования, равная 36 т продукции за смену. Полученную экономию денежных средств в размере 3 ден.ед. можно будет направить на какие-либо иные цели, например, на премирование рабочих, которые будут заниматься отладкой полученного оборудования. На излишнюю площадь в 2 кв.м можно поставить ящик с цветами.

Геометрическая интерпретация метода Гомори: строим множе-

ство планов (см. рисунок). В точке 1 - оптимальный нецелочисленный план.

Пусть оптимальный план, полученный симплекс-методом для задачи (5.1)-(5.3), следующий: и получен на базисе
Тогда последняя симплексная таблица имеет следующий вид:

Таблица 5.1

Приведённая к базису симплексная таблица для задачи целочисленного программирования

Предположим, что
дробное; тогда некоторое
также дробное (в противном случае задача не имеет целочисленного решения). Обозначим через
и
целые части чисели, т.е. наибольшие целые числа, не превосходящие числаи. Тогда величины дробных частейичиселиопределяются как разности:

где и

Например,

.

Так как по условию
– неотрицательные целые числа, то и разностьтакже целое неотрицательное число.

Преобразуя это неравенство в уравнение, вычитая из его левой части целую неотрицательную дополнительную переменную
умножим уравнение на –1, добавим к последней симплексной таблице и, применяя симплексный метод (желательно двойственный), находим новый план. Если он не является целочисленным, то по последней симплексной таблице составляем новое дополнительное ограничение.

Если в оптимальном плане задачи (5.1)-(5.3) несколько дробных
то дополнительное ограничение составляют дляmax. Это ускоряет процесс получения оптимального целочисленного решения.

Рассмотрим геометрический смысл введения дополнительного ограничения (см. рис. 5.2). Пусть в точке A многогранника решений Q функция Z достигает максимального значения Z (A )=max, но координаты точки A – дробные. Тогда введенные ограничения по целочисленности I и II от области Q отсекают область с угловой точкой
, координаты которой целочисленные и в которой линейная функция достигает максимального значения.

Рис.5.2. Геометрический смысл ограничения Гомори

Метод Гомори рассмотрим на примере следующей задачи.

Пример 5.1. Найти максимальное значение функции

при условиях

Дать геометрическую интерпретацию решения задачи.

Решение. Для определения оптимального плана задачи (5.5)-(5.8) сначала находим оптимальный план задачи (5.5)-(5.7):

Таблица 5.2

базис
план
– неоптимальный,
.

Таблица 5.3

Симплекс-таблица, приведённая к базису

,
– неоптимальный, базис
,
.

Таблица 5.4

Симплекс-таблица, приведённая к базису

Оптимальный план
, базис
. Этот оптимальный план не является оптимальным планом задачи (5.5)-(5.8), поскольку две компонентыиимеют нецелочисленное значение. При этом дробные части этих чисел
равны между собой. Поэтому для одной из этих переменных составляется дополнительное ограничение. Составим, например, такое ограничение для переменной(чаще берут первую строку). Из последнейсимплекс-таблицы имеем:

.

Таким образом, к системе ограничений задачи (5.5)-(5.7) добавляем неравенство

Теперь находим максимальное значение функции (5.5) при выполнении условий (5.6), (5.7) и (5.9). В условие (5.9) вводим дополнительную переменную :

Таблица 5.5

Ввод в симплекс-таблицу дополнительной переменной

Выберем .
базис.

Таблица 5.6

Приведение симплекс-таблицы к базису

Базис
.
.

Запишем оптимальный план для исходной задачи:
При этом плане значение целевой функции равно
.

Геометрическая интерпретация решения задачи.

Рис.5.3. Геометрическая интерпретация решения задачи

Областью допустимых решений задачи (5.5)-(5.7) является многоугольник ОАВС D (рис. 5.3). Из рисунка видно, что максимальное значение целевая функция принимает в точке
т.е.
является оптимальным планом. Так как этот план не является оптимальным планом задачи (5.5)-(5.8) (числаи– дробные), то вводится дополнительное ограничение

Исключая из этого неравенства иподстановкой вместо них соответствующих значений из уравнений системы ограничений (5.6), получим
.

.

Этому неравенству соответствует полуплоскость, ограниченная прямой
отсекающей отмногоугольника ОАВСD треугольник EFC .

Как видно из рисунка, областью допустимых решений полученной задачи является многоугольник OABEFD . В точке E (9;4) этого многоугольника целевая функция данной задачи принимает максимальное значение. Так как координаты точки Е – целые числа и неизвестные
ипринимают целочисленные значения при подстановке в уравнения (5.6) значений
и
то
является оптимальным планом задачи (5.5)-(5.8). Это следует и из таблицы симплекс-метода.

Замечание к использованию метода Гомори: если в первоначальный базис задачи входили искусственные векторы, то при составлении дополнительного ограничения искусственные переменные необходимо опустить.

Вопросы для самопроверки

Области применения целочисленного программирования.

Постановка задачи целочисленного программирования.

Графический способ решения задачи целочисленного программирования.

Алгоритм метода Гомори.

Правило составления дополнительного ограничения (сечения Гомори).

Геометрический смысл введения сечения Гомори.

Графический метод решения задач целочисленного программирования.

При наличии в задаче линейного программирования двух переменных, а в системе ограничения – неравенств, она может быть решена графическим методом без требований целочисленных переменных.

Если оптимальное решение этой задачи является целочисленным, то оно и является оптимальным для исходной задачи.

Если же полученное оптимальное решение не целочисленное, то строится дополнительное линейное ограничение. Оно обладает следующими свойствами:

1. Оно должно быть линейным;

2. Должно отсекать найденный оптимальный не целочисленный план;

3. Не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Алгоритм графического решения задачи

Целочисленного программирования.

1. Построить систему координат x 1 0х 2 и выбрать масштаб.

2. Найти область допустимых решений (ОДР) системы ограничений задачи.

3. Построить целевую функцию, являющуюся линией уровня и на ней указать направление нормали.

4. Переместить линию целевой функции по направлению нормали через ОДР, чтобы она из секущей стала касательной к ОДР и проходила через наиболее удаленную от начала координат точку. Эта точка будет являться точкой экстремума, т.е. решением задачи.

Если окажется, что линия целевой функции параллельна одной из сторон ОДР, то в этом случае экстремум достигается во всех точках соответствующей стороны, а задача линейного программирования будет иметь бесчисленное множество решений.

5. Найти координаты, точки экстремума и значение целевой функции в ней. Если полученные значения не целочисленные, то перейти к следующему шагу.

6. Выделить у этих координат область с целочисленными значениями.

7. Определить новые координаты и построить граф.

8. Найти точки с целыми значениями искомых переменных, подставить в уравнение целевой функции и найти её значение. Максимальное из полученных значений целевой функции и будет решением задачи.

Метод Гомори решения задач целочисленного программирования. Примеры решения экономических задач.

Данный метод основан на симплексном методе.

На первом этапе данная задача решается симплекс-методом, если полученное решение не целочисленное, то вводим дополнительное ограничение, которые должны быть:

Линейным;

Отсекать найденный оптимальный не целочисленный план;

Не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное ограничение обладающие этими свойствами называются правильным отсечением.

Ограничение накладывается на нецелочисленную переменную или на ту переменную, которая имеет большее дробное значение. Ограничение накладывается на не целочисленную переменную через не основные переменные. Ограничение составляется используя следующее правило: дробная часть свободного члена берётся с тем же знаком, который он имеет и в уравнении, а дробные части неосновных переменных - с противоположным знаком и выделяется положительная дробь. Например, {a}=a, {-a}={-A+a * }, где А - целая часть отрицательное число, а * -положительная дробь.

Получаем новое ограничение, вводим новую основную переменную, приведённое в формуле (1.2.3).

где x n+1 - нововведённая переменная,

x j - переменные не входящие в базис.

Новое ограничение следует вводить в последний этап симплекс метода, когда все переменные, имеющиеся в целевой функции, так же входят в базис.

Полученное базисное решение всегда не допустимое, соответствующее правильному отсечению.

Для получения допустимого базисного решения необходимо перевести в основные переменную, входящую с положительным коэффициентом в уравнение, в котором свободный член отрицательный.

При выборе какую переменные ввести в базис взамен нововведённой, следует выразить эти переменные и следую логическому рассуждения, подставить в базис ту переменную которая даёт целочисленное решение на наложенное ограничение.

Введение новых ограничений следует производить, если не получено целочисленное решение, после решения на первом этапе симплекс-методом и после введения новых ограничений.

Если в процессе решения появится выражение с нецелым свободным членом и целыми остальными коэффициентами, то соответствующее уравнение не имеет решения в целых числах. В этом случае и данная задача не имеет целочисленного оптимального решения.

Задача. Контейнер объемом помещен на контейнеровоз грузоподъемностью 12т. Контейнер требуется заполнить грузом двух наименований. Масса единицы груза, объем единицы груза, стоимости приведены в таблице:

Требуется загрузить контейнеровоз таким образом, чтобы стоимость перевозимого груза была максимальной.

Решим задачу методом Гомори.

Введем обозначения: х 1 – количество груза первого вида, х 2 – количество груза второго вида. Тогда экономико-математическая модель задачи примет вид:

Преобразуем математическую модель ЗЛП без учета целочисленности переменных к допустимому предпочтительному виду канонической формы:

По алгоритму основного симплекс-метода заполним симплексную таблицу решения ЗЛП:

Оптимальное решение ЗЛП не удовлетворяет ограничению целочисленности, следовательно, к основным ограничениям необходимо добавить новое линейное ограничение.

Замечание 9.1. Если имеется несколько дробных , то для той у которой дробная часть больше всего составляется ограничение.

Составим сечение Гомори для первого ограничения оптимальной симплекс-таблицы решения ЗЛП (так как ):

,

.

Преобразуем полученное ограничение к канонической форме с предпочтительной переменной:

.

Продолжим решение задачи двойственным симплекс-методом, включив новое ограничение в оптимальную симплекс-таблицу решения ЗЛП:

Оптимальное решение расширенной ЗЛП удовлетворяет ограничению целочисленности.

Обычно в задачах линейного программирования не требуется, чтобы координаты плана были целыми числами. Однако в практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых координаты оптимальных планов должны быть целыми числами, и такие задачи называются задачами . При решении задач линейного программирования графическим методом и симплекс-методом нет гарантий, что координаты оптимального плана будут целыми числами.

В некоторых случаях допускается округление результатов. Например, если в оптимальном плане предусмотрено, что следует произвести 499683,3 автомашины, то экономически обосновано округление результата до 499683 или даже до 500000.

Существуют однако задачи, в которых подобное округление может создать большую ошибку. Например, если в оптимальном плане предусмотрено, что следует построить 0,67 заводов, то формальное округление до 0 или 1 недопустимо.

Поэтому большое практическое значение имеют методы решения задач линейного программирования, с помощью которых можно найти оптимальный план, координаты которого - целые числа. Задачи целочисленного программирования решаются именно такими методами.

Если задача целочисленного программирования задана в канонической форме, она формулируется следующим образом:

найти максимум функции цели (линейной формы)

при системе ограничений

Таким образом, задача целочисленного программирования и соответствующая задача линейного программирования отличаются только условием целочисленности неизвестных.

Как и в задачах линейного программирования, в задачах целочисленного программирования требуется, чтобы оптимальный план максимизировал функцию цели (линейную форму).

Метод Гомори решения задач целочисленного программирования

Метод Гомори является универсальным методом решения задач целочисленного программирования, с помощью которого после конечного числа итераций можно найти оптимальный план или убедиться в том, что задача не имеет решений. Однако практическая ценность метода Гомори весьма ограничена, так как при решении задач нужно выполнить довольно много итераций.

При решении задач целочисленного программирования методом Гомори из множества оптимальных планов задачи линейного программирования постепенно удаляются подмножества, которые не содержат целочисленных планов.

На первой итерации симплекс-методом нужно решить задачу линейного программирования. Если найденные неизвестные удовлетворяют требованию целочисленности, то задача целочисленного программирования решена. Если же среди найденных неизвестных хотя бы одна является дробным числом, то тогда следует составить дополнительное условие (как его составлять - об этом чуть ниже) и присоединить его к системе ограничений задачи целочисленного программирования. Таким образом, из множества планов удаляется подмножество, не содержащее целочисленных планов. Если оптимальный план дополненной таким образом задачи является целочисленным, то задача целочисленного программирования решена. Процесс решения продолжается то тех пор, пока на какой-либо итерации не будет найден целочисленный оптимальный план или можно убедиться, что задача не имеет решения.

Теперь о том, как составлять упомянутое дополнительное условие. Оно, дополнительное условие, получается из одного из уравений системы ограничений из коэффициентов при неизвестных и самих неизвестных по формуле

, где в фигурных скобках - дробные части соответственно свободного члена и коэффициентов при неизвестных.

Например, из симплексной таблицы получаем такое уравнение:

.

Дробную часть свободного члена получаем, вычитая из самого числа его целую часть следующим образом:

Аналогично получаем дробные части коэффициентов при неизвестных:

(при x 3 ),

(при x 4 ).

А общее правило нахождения дробных частей таково: целой частью вещественного числа a называется самое большое целое число [a ] , не превыщающее a ; дробной частью вещественного числа a называется разность {a } = a - [a ] самого числа a и его целой части [a ] .

.

В нашем примере по приведённой выше формуле получается следующее уравнение:

.

Пример 1. Решить методом Гомори следующую задачу целочисленного программирования. Найти максимум целевой функции

при системе ограничений

Решение. Решаем задачу симплекс-методом. Поскольку у нас есть урок по решению задач линейного программирования симплекс-методом , сам метод объясняться здесь не будет, а будут приведены лишь симплексные таблицы.

Дополнительные неизвестные x 3 и x 4 примем за базисные. Выразим базисные неизвестные и функцию цели через неосновные переменные:

Из коэффициентов составим симплексную таблицу:

Составляем следующие таблицы до получения оптимального плана:

Из таблицы 3 находим оптимальный план . Поскольку этот оптимальный план не удовлетворяет условию целочисленности, нам нужно составить дополнительное условие. Дробной частью координаты является число , а дробной частью координаты - число .

Первое уравнение на основании таблицы запишется так:

.

Определив дробные части коэффициентов при неизвестных и свободных членов, получаем следующее дополнительное условие:

или, введя добавочную переменную ,

.

Получаем новую строку в симплексной таблице, полученной из таблицы 3 и добавления коэффициентов из только что полученного уравнения:

Совершаем шаг симплекс-метода и получаем таблицу:

Получили оптимальный план . Этот план, как и предыдущий, не удовлетворяет условию целочисленности. Поэтому вновь требуется составить дополнительное условие. В данном случае можно использовать первое или третье уравнение. Получится следующее дополнительное условие:

.

Составляем следующую таблицу:

Оптимальный план получаем из следующей, завершающей таблицы:

Так как найденный оптимальный план удовлетворяет условию целочисленности, задача целочисленного программирования решена. Координаты x 5 и x 6 можно не учитывать, так как начальные условия задачи содержит лишь четыре неизвестные. Поэтому окончательный оптимальный план запишется так:

,

а максимум функции цели равен 9.

Метод ветвей и границ решения задач целочисленного программирования

Методом ветвей и границ удобно решать такие задачи целочисленного программирования, в которых число неизвестных невелико либо требования целочисленности относятся не ко всем неизвестным. Суть метода ветвей и границ состоит в том, что для тех неизвестных, к которым относится требование целочисленности, нужно определить границы, в которых могут находиться значения этих неизвестных. Затем решаются соответствующие задачи линейного программирования.

Задание границ, в которых должны находиться значения неизвестных в задаче целочисленного программирования, можно записать так:

На практике во многих случаях границы значений неизвестных уже включены в систему ограничений задачи целочисленного программирования или же их можно определить исходя из экономического содержания задачи. Иначе можно принять, что нижняя граница , а верхняя граница , где M - достаточно большое положительное число.

Как метод ветвей и границ позволяет уточнить границы допустимых значений неизвестных?

Сначала решается, допустим, симплекс-методом задача линейного программирования, соответствующая задаче целочисленного программирования. Пусть найден оптимальный план в этой задаче и значением какой-либо его координаты является дробное число. Тогда потребуется составить две новые задачи линейного программирования. Как это сделать?

Обозначим целую часть координаты в виде . В одной из новых задач линейного программирования нижней границей значения координаты будет число , то есть целая часть значения координаты, увеличенная на единицу. Это запишется следующим образом:

.

В другой новой задаче линейного программирования верхней границей значения координаты будет сама целая часть значения координаты . Это запишется так:

Таким образом, от первой задачи линейного программирования "ответвились" две новые задачи, в которых в которых изменились границы допустимых значений одной неизвестной. При решении каждой из этих задач возможны три случая:

• оптимальный план не является целочисленным,
• оптимальный план является целочисленным,
• задача не имеет решений.

Лишь в первом случае возможно "ответвление" новых задач способом, показанным выше. Во втором и третьем случае "ветвление" прекращается.

На каждой итерации решения задачи целочисленного программирования решается одна задача. Введём понятие: список решаемых задач линейного программирования. Из списка следует выбрать задачу, решаемую на соответствующей итерации. На дальнейших итерациях список меняется, так как решённые задачи в него уже не входят, а вместо них в список включаются новые задачи, которые "ответвились" от предыдущих задач.

Для того, чтобы ограничить "ветвления", то есть уменьшить число решаемых задач, на каждой итерации следует определить нижнюю границу максимального значения целевой функции. Это делается следующим образом:

Согласно алгоритму решения задачи целочисленного программирования методом ветвей и границ, на каждой p -й итерации требуется сделать 4 шага.

Пример 2. Решить методом ветвей и границ следующую задачу целочисленного программирования. Найти максимум целевой функции

при системе ограничений

Решение. Допустим, что заданы или определены следующие границы оптимальных значений неизвестных:

.

Так как задача задана в нормальной форме, она имеет целочисленный план и нижнюю границу максимального значения целевой функции .

В списке решаемых задач - 1-я задача:

Итерация 1.

Шаг 1. С помощью симплекс-метода получено решение 1-й задачи:

Так как найденный план не является целочисленным, следует шаг 4.

Шаг 4. Так как оптимальный план имеет дробную координату 1,2, то и . Применяя границы значений неизвестных 1-й задачи, получаем новые задачи. Во 2-й задаче нижней границей для является , а в 3-й задаче верхней границей для является .