Статические и динамические, дискретные и непрерывные модели. Понятие динамических систем

Непрерывные и дискретные модели

Непрерывные модели отражают непрерывные процессы, протекающие, в частности, во времени. Значения независимой переменной (аргумента) принадлежат континуальному множеству. Континуальное множество обладает свойством, соответственно которому между любыми сколь угодно близкими точками множества всегда можно найти еще более близкие точки. Очень часто такой характер изменения приписывается времени.

Непрерывными моделями достаточно точно описываются такие реальные процессы, как изменение силы тока в определенной точке электрической схемы, изменение угловой скорости на выходе электропривода, набор линейной скорости при разгоне автомобиля, истечение газа или жидкости из резервуара и т.п.

Дискретные модели описывают дискретные, т.е. прерывистые процессы. Такие процессы происходят, например, в дискретных СУ, содержащих импульсный элемент (ключ), периодически замыкающий цепь через постоянный тактовый период Т .

Дискретными моделями достаточно точно описываются такие реальные процессы, как штамповка деталей, продажа мелких товаров с помощью автомата, работа микропроцессора и т.п.

Существуют также комбинированные – дискретно-непрерывные модели, в которых обычно можно отделить непрерывную часть от дискретной.

Статической называется модель объекта, отражающая оригинал в какой-то отдельный момент времени, т.е. «моментальная фотография» объекта. Например, буквально фотография или схема.

С фотографией (рис. 1.11) все ясно, что же касается схемы, то даже если это структурная схема с указанием передаточных функций звеньев, по ней явно не видно, как модель изменяется с течением времени (рис. 1.12).

Рис.1.11. Фотография как пример статической модели

Рис. 1.12. Структурная схема системы

Другой очевидный и знакомый пример статической модели –статическая характеристика, т.е. зависимость выходной переменной объекта (системы) от входной переменной в установившемся режиме , т.е. при t®∞: y(∞)=F (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Статическая характеристика системы ”System ”

Динамическая модель, в отличие от статической, учитывает изменения, происходящие в системе с течением времени. Это может выражаться в зависимости входной, выходной и промежуточных переменных от времени. Примером могут служить переходные функции – реакции систем на единичное ступенчатое входное воздействие (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Переходная функция h(t) системы “System ”

Обычно переходные функции получаются в результате: 1) аналитического решения; 2) численного интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих исследуемую систему; 3) обратного преобразования Лапласа от передаточной функции системы, деленной на s . Модельв виде дифференциальных уравнений (ДУ) является широко распространенной динамической моделью.

Пример. Пусть система описывается моделью в виде дифференциального уравнения:

входное воздействие x(t)= 1[t] – единичное ступенчатое (как на рис. 1.14), а начальные условия имеют вид: y(t= 0) = 0, т.е. процесс начинается из начала координат.

Аналитическое решение. Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами (стационарное). Его решение складывается из двух слагаемых – общего и частного решения:

Общее решение ищется в виде:

где А – неизвестный коэффициент, определяемый из начальных условий;

l – корень характеристического уравнения, которое в данном случае выглядит так:

откуда l=– 2.

В стандартной форме исходное уравнение должно иметь при y(t) коэффициент, равный единице. Для этого исходное уравнение разделим на 4 и получим:

Частное решение зависит от вида правой части ДУ; в данном примере, поскольку x(t)= 1[t] , частное решение будет равно константе:

Суммарное решение будет выглядеть так:

Теперь, подставив в решение y(t) начальное условие (для уравнения 1-го порядка оно одно), можно найти значение коэффициента А :

откуда А = – 1,25. Окончательно решение имеет вид:

Поскольку входным воздействием было единичное ступенчатое, то полученное решение является переходной функцией и обозначается, как обычно, h(t) . График этой функции показан на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Переходная функция h(t) – решение ДУ из примера

Подобный h(t) характер (с разной погрешностью) имеют такие процессы, как разгон автомобиля, нагрев жидкости, накопление знаний в некоторой предметной области, увеличение численности популяции животных, рост производства (при определенных условиях) и многие другие. В этом заключается одно из важнейших свойств математическихмоделей – их универсальность.

Модели, типы моделей и их использование

Одним из главных элементов, необходимых для эффективного решения сложных задач, является построение и соответствующее использование модели. Модель - представление объекта или системы в некоторой форме, отличной от формы их реального существования.

Очевидно, что модели могут принимать самую разную форму и записываться с разной степенью математической детализации. Выбор того уровня сложности, который делает модель полезной, определяется планируемым ее использованием.

В повседневной практике при работе с системами пользуются умозрительными (субъективными) моделями, в которых математики нет вообще. Примерами таких моделей могут служить алгоритмы функционирования, правила управления системами и т.д.

Для описания свойств некоторых объектов и систем подходят числовые таблицы и (или) графики. Такие описания обычно называют графическими моделями. Например, линейные системы автоматического управления (САУ) могут быть представлены своими импульсными реакциями, реакциями на единичный скачок или частотными характеристиками. Соответствующие графические представления широко используются при проектировании и исследовании САУ.

В более сложных приложениях используются математические модели, в которых соотношения, описывающие связи между переменными объекта, задаются в виде определенных уравнений. Поэтому такие модели иногда называют аналитическими моделями. Математические модели представляют собой формализованные математические описания, отражающие с требуемой точностью процессы, происходящие в исследуемом объекте. Математические модели могут быть снабжены набором поясняющих прилагательных (линейные, нелинейные, дискретные, непрерывные, детерминированные, стохастические и т.д.) в зависимости от типа исследуемых уравнений.

В процессе машинного моделирования моделью системы является программа для ЭВМ. Программа, которой описывается поведение сложных систем, может представлять собой совокупность взаимодействующих между собой подпрограмм и просмотровых таблиц. Формализация такой совокупности в виде некоторой математической модели может оказаться трудноразрешимой задачей. Такие компьютеризованные представления называют программными (или машинными) моделями. Такие модели в настоящее время играют большую роль в процессе принятия оптимальных решений в сложных системах.

Модели можно классифицировать различными способами. Однако ни один из них не является полностью удовлетворительным, хотя каждый из них служит определенной цели. Укажем некоторые типовые альтернативные группы моделей:

Физические (натурные) и математические (символьные);

Статические и динамические;

Детерминированные и стохастические;

Дискретные и непрерывные;

Линейные и нелинейные;

Сосредоточенные и распределенные;

Стационарные и нестационарные.

Физическими моделями являются модели, в которых свойства реального объекта представляются свойством такого же объекта (макета) или некоторым другим свойством аналогичного по поведению объекта.

К математическим моделям относятся те, в которых для представления процесса используются символы, а не физические устройства.

Математическую модель можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реального объекта:

а) совокупность управляемых входных воздействий на объект

б) совокупность неуправляемых входных воздействий

в) совокупность внутренних (собственных) параметров объекта

г) совокупность выходных характеристик объекта (переменных состояния)

Структура моделируемого объекта имеет вид представленный на рис. 4.1

Входные переменные являются независимыми (экзогенными), а выходные - зависимыми (эндогенными) переменными.

Процесс функционирования объекта описывается во времени оператором F, который преобразует независимые переменные в зависимые

(4.1)

Совокупность зависимостей выходных характеристик объекта от времени называется выходной траекторией .

Зависимость (1.1) называется законом функционирования объекта. В общем случае закон функционирования объекта может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, в алгоритмической и табличной формах или в виде словесного правила соответствия.

Весьма важным для описания и исследования объекта является понятие алгоритма функционирования , под которым понимается метод получения выходных характеристик с учетом входных воздействий .

Очевидно, что один и тот же закон функционирования может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных алгоритмов функционирования.

Соотношения (1.1) являются математическим описанием поведения объекта моделирования во времени t, т.е. отражают его динамические свойства. Поэтому математические модели такого вида называются динамическими . Они описывают изменения параметров во времени, например:

(4.2)

Инженеру очень часто приходится сталкиваться с такими моделями при разработке новых технологических процессов, изделий, средств и систем автоматического управления. В сущности, любая задача проектирования, связанная с расчетом потоков энергии или движения тел, в конечном счете сводится к решению дифференциальных уравнений.

Статические модели описывают процессы, не изменяющиеся во времени, т.е. поведение объекта в установившихся режимах

(4.3)

Статические модели используют, как правило, при проектной оптимизации объекта.

Обычно динамическая модель задается в виде дифференциальных уравнений, а статическая - в виде алгебраических или трансцендентных.

Модели, у которых существует жесткая связь между переменными, называют детерминированными . Такие модели не содержат случайных факторов и значения выходных переменных однозначно определяются значениями входных переменных.

Стохастическая (вероятностная) модель отражает воздействие случайных факторов. Поэтому между входными и выходными переменными существует не функциональная зависимость (детерминированная модель), а вероятностная. Обычно переменные состояния объекта оцениваются в терминах математического ожидания, а входные воздействия - вероятностными законами распределения.

Непрерывная модель описывает непрерывные изменения переменных объекта в течении определенного промежутка времени, например:

Дискретная модель описывает зависимость между переменными объекта в дискретные моменты времени, например: где - начало j-ой стадии моделирования объекта; - ее конец, т.е. состояние объекта в момент времени определяется по известному его состоянию в момент при условии, что известны и остаются постоянными.

У линейной модели существует пропорциональная связь между входными и выходными переменными. Модели, не удовлетворяющие этому условию, являются нелинейными .

Динамическая модель, которая описывает изменение переменных объекта только во времени, называется динамической моделью с сосредоточенными параметрами (искомая величина зависит только от одной переменной).

Эти модели содержат одну или несколько производных от переменных состояния и представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Их можно записать в виде:

Полная математическая модель наряду с дифференциальным уравнением (1.4) при решении практических задач содержит также некоторые дополнительные условия (например, значения искомых переменных y ) в начальный момент времени t0 , называемыми начальными условиями :

Во многих практических задачах искомая величина зависит от нескольких переменных. В этом случае математическая модель содержит частные производные и называется моделью с распределенными параметрами .

Если одной из независимых переменных является время t, то такая модель дает описание динамики процесса как во времени, так и в пространстве. Полная математическая модель содержит дифференциальное уравнение в частных производных, начальные условия и граничные условия если математическая модель определена в ограниченном пространстве. Примером такой модели может служить модель теплопроводности или диффузии (параболическое уравнение):

, (4.5)

где y - параметр состояния (температура или концентрация); t - время; x - пространственная координата (толщина материала); a - константа, при заданных начальных и граничных условиях.

В настоящее время трудно назвать область человеческой деятельности, в которой в той или иной степени не использовались бы модели и методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

Идея представления объекта или системы при помощи модели носит столь общий характер, что дать полную классификацию всех функций модели затруднительно. Можно привести, по крайней мере, следующие основания области применения моделей в инженерной практике:

Управление сложными объектами и системами (техническими, экономическими, социальными и т.д.);

Проектирование технических объектов и систем;

Прогнозирование и диагностика с использованием модели объекта;

Создание средств обучения и тренажа;

Постановка численных экспериментов на имитационной модели объекта.

Математическое моделирование является составной частью всех технических и естественно - научных дисциплин. Действительно, основная задача техники заключается в том, чтобы, используя математическую модель, найти хорошее проектно-конструкторское решение, оптимальное управление объектами, наилучшее распределение ресурсов, оптимальный план производства и т.д.

Математические модели являются также мощным инструментальным средством решения задач имитационного моделирования и предсказания (прогнозирования) поведения моделируемых объектов при различных ситуациях, которые часто возникают не только в технике, но и в экономике, экологии, биологии и других областях знания. Модели широко применяются в качестве средств профессиональной подготовки и обучения лиц, которые должны уметь справляться с всевозможными случайностями до возникновения реальной критической ситуации. Широко известны такие применения моделей, как натурные макеты или модели космических летательных аппаратов, используемые для тренировки космонавтов, тренажеры для обучения водителей, деловые игры для обучения персонала, принимающего решения.

Применение моделей позволяет проводить контролируемые эксперименты в ситуациях, когда экспериментирование на реальных объектах практически невозможно или экономически нецелесообразно. При экспериментировании с моделью сложной системы мы часто можем узнать больше о ее внутренних взаимодействующих факторах, чем могли бы узнать, проведя эксперименты с реальной системой. Это становится возможным благодаря наблюдаемости переменных структурных элементов модели, благодаря тому, что мы можем контролировать ее поведение при различных внешних воздействиях, легко изменять ее параметры.

Резюмируя изложенное выше, отметим, что модель может служить для достижения одной из двух основных целей: либо описательной, если модель служит для объяснения и (или) лучшего понимания объекта, либо предписывающей, когда модель позволяет предсказать и (или) воспроизвести характеристики объекта, определяющие его поведение.

Пример.

Пример. Модель S=gt2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Пример.

a1x1 + a2x2 = S,

Детерминированные и стохастические модели

Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).

Пример. Приведенные выше физические модели - детерминированные. Если в модели S = gt2 / 2, 0 < t < 100 мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела:

S(p) = g(p) t2 / 2, 0 < t < 100,

то мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного) падения.

Функциональные, теоретико-множественные и логические модели

Модель функциональная, если она представима в виде системы каких- либо функциональных соотношений.

Модель теоретико-множественная, если она представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними.

Пример. Пусть задано множество

X = {Николай, Петр, Николаев, Петров, Елена, Екатерина, Михаил, Татьяна} и отношения:

Николай - супруг Елены,

Екатерина - супруга Петра,

Татьяна - дочь Николая и Елены,

Михаил - сын Петра и Екатерины,

семьи Михаила и Петра дружат друг с другом.

Тогда множество X и множество перечисленных отношений Y могут служить теоретико-множественной моделью двух дружественных семей.

Модель называется логической, если она представима предикатами, логическими функциями.

Например, совокупность логических функций вида:

z = x y x, p = x y

есть математическая логическая модель работы дискретного устройства.

Игровые модели

Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию между участниками игры.

Пример. Пусть игрок 1 - добросовестный налоговый инспектор, а игрок 2 - недобросовестный налогоплательщик. Идет процесс (игра) по уклонению от налогов (с одной стороны) и по выявлению сокрытия уплаты налогов (с другой стороны). Игроки выбирают натуральные числа i и j (i, j n), которые можно отождествить, соответственно, со штрафом игрока 2 за неуплату налогов при обнаружении игроком 1 факта неуплаты и с временной выгодой игрока 2 от сокрытия налогов. Если в качестве модели взять матричную игру с матрицей выигрышей порядка n, то в ней каждый элемент определяется по правилу aij = |i - j|. Модель игры описывается этой матрицей и стратегией уклонения и поимки. Эта игра - антагонистическая.

Лингвистические модели

Модель называется языковой, лингвистической, если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой.

Иногда такие модели называют вербальными, синтаксическими.

Например, правила дорожного движения - языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах.

Пусть B - множество производящих основ существительных, C - множество суффиксов, P - прилагательных, b i – корень слова; "+" - операция конкатенации слов, ":=" - операция присваивания, "=>" - операция вывода (выводимости новых слов), Z - множество значений (смысловых) прилагательных.

Языковая модель M словообразования может быть представлена:

= + <с i >.

При b i - "рыб(а)", с i - "н(ый)", получаем по этой модели p i - "рыбный", z i - "приготовленный из рыбы".

Система клеточных автоматов

Модель клеточно-автоматная, если она представима клеточным автоматом или системой клеточных автоматов.

Клеточный автомат - дискретная динамическая система, аналог физического (непрерывного) поля. Клеточно-автоматная геометрия - аналог евклидовой геометрии. Неделимый элемент евклидовой геометрии - точка, на основе ее строятся отрезки, прямые, плоскости и т.д.

Неделимый элемент клеточно-автоматного поля - клетка, на основе её строятся кластеры клеток и различные конфигурации клеточных структур. Представляется клеточный автомат равномерной сетью клеток ("ячеек") этого поля. Эволюция клеточного автомата разворачивается в дискретном пространстве - клеточном поле.

Смена состояний в клеточно-автоматном поле происходит одновременно и параллельно, а время идет дискретно. Несмотря на кажущуюся простоту их построения, клеточные автоматы могут демонстрировать разнообразное и сложное поведение объектов, систем.

В последнее время они широко используются при моделировании не только физических, но и социально-экономических процессов.

Фрактальные модели

Модель называется фрактальной, если она описывает эволюцию моделируемой системы эволюцией фрактальных объектов.

Если физический объект однородный (сплошной), т.е. в нем нет полостей, то можно считать, что его плотность не зависит от размера. Например, при увеличении параметра объекта R до 2R масса объекта увеличится в R 2 раз, если объект- круг и в R 3 раз, если объект - шар, т.е. существует связь массы и длины. Пусть n - размерность пространства. Объект, у которого масса и размер связаны называется "компактным". Его плотность можно рассчитать по формуле:

Если объект (система) удовлетворяет соотношению M(R) ~ R f(n) , где f(n) < n, то такой объект называется фрактальным.

Его плотность не будет одинаковой для всех значений R, то она масштабируется согласно формуле:

Так как f(n) - n < 0 по определению, то плотность фрактального объекта уменьшается с увеличением размера R, а ρ(R) является количественной мерой разряженности объекта.

Пример фрактальной модели - множество Кантора. Рассмотрим отрезок . Разделим его на 3 части и выбросим средний отрезок. Оставшиеся 2 промежутка опять разделим на три части и выкинем средние промежутки и т.д. Получим множество, называемое множеством Кантора. В пределе получаем несчетное множество изолированных точек (рис. 1.4 )

Рис. 1.4. Множество Кантора для 3-х делений

Генетические алгоритмы

Идея генетических алгоритмов "подсмотрена" у систем живой природы, у которых эволюция развертывается достаточно быстро.

Генетический алгоритм - это алгоритм, основанный на имитации генетических процедур развития популяции в соответствии с принципами эволюционной динамики.

Генетические алгоритмы используются для решения задач оптимизации (многокритериальной), для задач поиска и управления.

Данные алгоритмы адаптивны, они развивают решения и развиваются сами.

Генетический алгоритм может быть построен на основе следующей укрупненной процедуры:.

Хотя генетические алгоритмы и могут быть использованы для решения задач, которые, нельзя решить другими методами, они не гарантируют нахождение оптимального решения, по крайней мере, за приемлемое время. Здесь более уместны критерии типа "достаточно хорошо и достаточно быстро".

Главное же преимущество их использования заключается в том, что они позволяют решать сложные задачи, для которых не разработаны пока устойчивые и приемлемые методы, особенно на этапе формализации и структурирования системы.

Генетические алгоритмы эффективны в комбинации с другими классическими алгоритмами и эвристическими процедурами.

Статические и динамические, дискретные и непрерывные модели

Классификацию моделей проводят по различным критериям.

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез.

Пример. Закон Ньютона F=a*m - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.

Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.

Пример. Динамическая модель закона Ньютона будет иметь вид:

Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.

Пример. Если рассматривать только t=0, 1, 2, …, 10 (сек), то модель

или числовая последовательность: S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела.

Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени некоторого промежутка времени.

Пример. Модель S=gt2/2, 0 < t < 100 непрерывна на промежутке времени (0;100).

Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели.

Пример. Пусть модель экономической системы производства товаров двух видов 1 и 2, в количестве x1 и x2 единиц и стоимостью каждой единицы товара a1 и a2 на предприятии описана в виде соотношения:

a1x1 + a2x2 = S,

где S - общая стоимость произведенной предприятием всей продукции (вида 1 и 2). Можно ее использовать в качестве имитационной модели, по которой можно определять (варьировать) общую стоимость S в зависимости от тех или иных значений объемов и стоимости производимых товаров.

(1)Системы и элементы систем

САУ - состоит из объекта управления, управления устройства взаимодействующих между собой (САП). Объект управления (ОУ) – устройство требуемое режим работы которого должен поддерживаться системой. Устройство управления – это устройство, осуществляющее воздействие на объект управления с целью поддерживания режима его работы. Система – это совокупность взаимодействующих между собой элементов. Свойство системы отличается от совокупности элементов, которые в нее входят. При анализе, синтезе систем используют математическое описание СУ. Существует 2 способа мат. описания системы уравления:1)классический – в этом случае все элементы системы описываются с помощью отдельных уравнений без учета взаимосвязи между элементами. 2)системный – в этом случае все элементы систем рассматриваются на конечное число подсистем, и рассматриваются с учетом взаимосвязи между элементом. Математическое описать систему можно 3 способами: 1)аналитический – с помощью диф. или линейных; 2)графический – диаграммы, графики; 3)табличный – график в таблице.

(2)Классификация САУ

Линейные системы – системы которые описываются линейным уравнением. Нелинейные системы – описываются нелинейными уравнениями, т.е. дифференциальными. Непрерывные системы – состояние, которое задано на всем непрерывном множестве. Дискретные системы – системы, значения выходной величины, которая существует или определена в конкретный момент времени . Непрерывно-дискретная система, у которой выходная величина на определенном участке представляет собой непрерывную величину, и на промежутке t 1 -t 2 представляет собой дискретную величину. Стационарные системы – системы, которые описываются уравнениями с постоянными параметрами (параметры не изменяются во времени). Нестационарные – описываются уравнениями с переменными параметрами. ССП – системы с сосредоточенными параметрами – системы, которые описываются обыкновенными диф.уравнениями в частных производных. Одномерные – системы, в которых выходная величина одна. Многомерные – имеют несколько выходных величин. Статические – без инерционные системы, т.е. постоянна во времени. Динамические – входная величина изменяется во времени, для таких величин характерен динамический процесс. Детерминированные – системы без внешних воздействий. Стохастические (вероятные или случайные) – для таких систем характерно несколько состояний и все она зависит от внешних воздействий.

(3)Воздействие на систему (переменные системы уравнения).

Задающее воздействие или входное воздействие х(t) – это воздействия которое планируется. Управляющее воздействие (U(t)) – воздействие обусловлено управляющим уравнением и оказывает влияние на субъекты управления. Возмущающие воздействия f(t) – воздействие не планируемое, т.е. случайное (параметры окружающей среды). Выходное у(t) – управляемое переменной, данная величина характеризует параметры объекты управления. Внутреннее x(t) – обусловлено влиянием одних систем на другие.

(4)Математические модели непрерывных динамических систем.

Прежде чем приступать к мат.модели САУ необходимо составить ее функциональную схему. В такой схеме каждому элементу САУ соответствует некоторый прямоугольник с обозначением данного конкретного элемента. Входное воздействие поступает на сумматор с учетом обработки ошибки из входного воздействия получается задающее воздействие g(t). Поступив на устройство управления вырабатывая управляющее воздействие u(t) и поступает на объект управления. В объекте управления с учетом внешнего воздействия j(t) вырабатывает выходная у(t). Ошибка регулирования, которая l(t) поступает на исполнительное устройство, которое предназначено для изменения состояний рассомасования. Данная система является замкнутой. Нижняя часть называется обратной связью, которая может быть и положительной и отрицательной. На следующем этапе составления математической модели функциональная схема преобразуется в структурную схему, которая состоит также из прямоугольников, но вместо обозначения элемента системы в него записывается уравнение состояния или работы данного звена. Структурная схема является математической моделью системы управления. Уравнения, которые описывают изменяющиеся во времени состояния системы или элемента называются уравнениями динамики. Чаще всего системы описываются с помощью диф.уравнений.

(5)Метод малых отклонений.

При исследовании нелинейной системы уравнений решение можно получить лишь в чистом виде, поэтому для получения аналитического решения нелинейных диф.уравнений используют линеализацию. Линеализация – замена нелинейных уравнений приближенными линейными уравнениями (метод малых отклонений). Рассмотрим некоторый элемент . Пусть между входной и выходной величиной осуществляются процессы, которые описываются нелинейным дифференциальным уравнением вида . Обозначим установившееся состояние объекта через х 0 , у 0 и отклонение от данного состояния х’ и у’. тогда входная величина будет представлена: х=х 0 +х’; y+y 0 +y’. В общем случае входная и выходная величины могут являться функциями времени, тогда выходная величина будет представлена: . В окрестностях точки х 0 , у 0 функцию F(x,y,t) разложим в ряд Тейлора: , где R – совокупность членов ряда, порядок производной которой выше первой. В случае, если отклонение от установившегося, значения малы можно получить (*), где . В том случае, если отклонение от установившегося состояния равны 0, уравнение будет выглядеть (**). Вычитая (**) из (*) получаем линейное диф.уравнение , которое называется уравнением в отклонениях. Это уравнение описывает состояние объекта управления при малых отклонениях.

(6)Метод решений диф.уравнений.

1)аналитический, получают решение в явном виде. На основе данного решения можно исследовать реакцию объекта на любые входные воздействия; 2)численный, решением уравнения является числовое решение при заданных начальных условиях; 3)качественный, используется в основном в теории управления и не имея решения в явном виде получают различные качественные оценки?????(время переходного процесса, полоса пропускания). Этапы решения диф.уравнений: 1)по исходному диф.уравнению составляют характеристическое уравнение системы; 2)находят корни характеристического уравнения; 3)записывают общие решения диф.уравнений и используя начальные условия определяют коэффициенты выходной величины; 4)к общему решению диф.уравнения прибавляют частное решение. Однако нахождение корней характеристического уравнения, порядок которого выше третьей степени аналитически не возможно, поэтому для нахождения корней используют численные методы, что усложняет исследование системы в целом.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Понятие динамических систем

1.2 Модели динамических систем и процессов

1.3 Моделирование непрерывной системы контроля

1.4 Математическое описание непрерывной системы контроля

2. Практическая часть

2.1 Выполнение задания 1

2.2 Выполнение задания 2

Заключение

Список использованных источников

Введение

Достижения в теории и практике моделирования процессов и систем, в современных условиях, связано со стремительным развитием вычислительной техники. Что казалось невозможным при решении многих задач моделировании еще несколько лет назад, сейчас легко реализуется на доступном инженерном уровне. Появление и развитие инженерных пакетов моделирования, таких как Matlab, Skylab, Labview, создало условия высокопроизводительного, объектно-ориентированного моделирования на современных компьютерах.

Задачи моделирования процессов и систем многообразны. Моделирование широко используется при инженерном проектировании и научных исследованиях: для решения технических и экономических задач, при исследованиях в экологии и социологии, в приборостроении и автоматизации управления.

Особенности применения моделирования в приборостроении связаны в первую очередь с технологическими достижениями в датчикостроении, теории измерений и обработки информации.

В области экономических задач применение моделирования дает эффективный инструмент для управления проектами и прогнозирования развития экономических процессов. Многие современные методы теории управления оказались эффективными при решении экономических задач и достаточно легко реализуемыми на математических моделях и постановке вычислительных экспериментов на компьютерной технике.

Развитие нейросетей, микросистемотехники, нанотехнологии внесло много существенно нового в методы моделирования процессов и систем, что дало также эффективный инструмент для предварительного решения задач проектирования в математическом виде на моделях и их численном исследовании на компьютерах. Применение моделирования особенно эффективно при исследовании проектируемых систем с целью изучения и прогнозировании различных явлений и процессов в этих системах. Приближение к реальным условиям работы проектируемых систем осуществляется при стохастическом моделировании, когда к условиям моделирования добавляются случайные изменения параметров системы, возмущения и шумы измерений физических величин.

В приборостроении актуально моделирование задач управления, получения, передачи и преобразования информации. При этом современные модели везде для описания процессов и систем используют дифференциальные уравнения и линейные матричные преобразования.

Развитие современных методов моделирования создало предпосылки для создания и исследования высокоэффективных систем, которые, как правило, ориентированы на цифровые алгоритмы обработки информации, с применением современных микропроцессоров, нейрокомпьютеров, процессоров с нечеткой логикой и других современных технологических достижений.

1 . Теоретическая часть

1.1 Понятие динамических систем

Динамические системы - системы, под действием внешних и внутренних сил изменяющие во времени свои состояния. Представления о динамических системах возникли как обобщение понятия механической системы, поведение которой описывается законами динамики Ньютона. В современной науке понятие динамической системы охватывает системы практически любой природы: физические, химические, биологические, экономические, социальные и др. При этом системы характеризуются различной внутренней организацией жестко-детерминированные, стохастические, нелинейные, системы с элементами самоорганизации, самоорганизующиеся.

Важнейшим свойством динамических систем является их устойчивость, т. е. сохранение системой своей базовой структуры и основных выполняемых функций в течение определенного времени и при относительно небольших и разнообразных внешних воздействиях и внутренних возмущениях. Устойчивость есть внутреннее свойство систем, а не результат внешнего воздействия. Представления же о развитии этих систем отражают такие изменения их структурной организации, которые ведут к более эффективному выполнению системой своих основных функций. Качественные перестройки систем анализируются в теории катастроф, которая рассматривается как ветвь общей теории динамических систем.

Развитие представлений о динамических системах связано с переходом к познанию все более сложных систем. При этом особую роль приобретает изучение динамики внутренних свойств систем. В случае механических систем действие внутренних факторов сводилось к силам инерции. По мере усложнения систем возрастает значение внутренних факторов. На первый план выходят проблемы изучения источников внутренней активности систем и природы их целенаправленного функционирования и поведения.

Математической моделью динамической системы принято называть совокупность математических символов, однозначно определяющих развитие процессов в системе, т.е. ее движение. При этом в зависимости от используемых символов различают аналитические и графоаналитические модели. Аналитические модели строятся с помощью буквенных символов, в то время как графоаналитические допускают применение графических обозначений.

В зависимости от типа сигналов различаются непрерывные и дискретные модели систем. В зависимости от используемых операторов - линейные и нелинейные, а также временные и частотные модели. К временным относятся модели, в которых аргументом является (непрерывное или дискретное) время. Это дифференциальные и разностные уравнения, записанные в явном виде или в операторной форме. Частотные модели предусматривают использование операторов, аргументом которых является частота соответствующего сигнала, т.е. операторы Лапласа, Фурье и т.д.

1.2 Модели динамических систем и процессов

В современной математике используется представление динамических процессов и систем дифференциальными уравнениями в пространстве состояний. Такое описание процессов и систем позволяет легко проводить их цифровое моделирование, используя конечно-разностное представление и проектировать универсальные алгоритмы обработки информации с целью дальнейшего оптимального оценивания параметров систем и процессов. Оптимальные оценки необходимы для организации управления в системах автоматического управления современными методами, а в информационно-измерительных системах для получения достоверных данных об измеряемых физических величинах, для прогнозирования поведения исследуемых явлений и систем, повышения отказоустойчивости обработки информации. Одним из методов получения математической модели системы или процесса является идентификация.

Идентификацией динамической системы называется получение или уточнение по экспериментальным данным математической модели (числовых параметров) этой системы или процесса, выраженной посредством того или иного математического аппарата.

Используются следующие основные математические модели в пространстве состояний.

Непрерывная детерминированно-стохастическая динамическая система (ДС) - это система, описываемая линейными дифференциальными уравнениями состояния первого порядка и линейным уравнение выхода. В матричном виде:

X"(t)=A*Х(t)+B*U(t)+D*V(t), Y(t)=CX(t),

где Х"(t) - n-мерный вектор состояния системы; V(t) - r-мерный вектор гауссовских шумов с нулевым средним и корреляционной матрицей

E=Q(t)

моделирование матричный фазовый траектория

(Е - оператор математического ожидания); Y(t) - m-мерный вектор выхода; A, B, D - матрицы состояния (матрицы коэффициентов); С - матрица линейного преобразования размера m x n.

Дискретная детерминированно-стохастическая динамическая система (ДС) - это система, описываемая разностными уравнениями первого порядка состояния и дискретным уравнением выхода. Матричный вид соответствует уравнениям:

Х(k+1)=F*Х(k)+G*U(k)+T*V(k), Y(k)=CX(k),

где F, G, T, - переходные матрицы. Матрицы F, G, T вычисляются через A, B, D в виде:

F=I+A*y*dt, G=y*B*dt, T=y*D*dt,

где I - единичная матрица; dt - период дискретности системы (процесса). Период дискретности dt выбирается исходя из полосы пропускания ДС в соответствии с импульсной теоремой.

Детерминированной является ДС, у которой отсутствуют шумы возмущения и нет стохастических процессов (или всеми этими факторами можно пренебречь). У чисто стохастической ДС отсутствует детерминированный вектор входных сигналов. Детерминировано-стохастическая система содержит как детерминированные воздействия, так и стохастические процессы.

Объектами наблюдения динамических систем являются: информационные процессы (ИП), объекты управления (ОУ), датчики первичной информации (ДПИ), исполнительные устройства (ИУ). Первичной моделью объекта наблюдения типа ИП является спектральная или корреляционная функция. Первичной моделью объекта наблюдения типа ОУ, ДПИ и ИУ является дифференциальное уравнение (или эквивалентная передаточная функция), связывающая вход и выход.

Датчик первичной информации - это элемент устройства, преобразующий информацию о физической величине в сигнал, удобный для использования и обработки. Он задается дифференциальным уравнением или передаточной функцией. Передаточной функцией ДПИ является отношение преобразования Лапласа выходного процесса ДПИ к преобразованию Лапласа входного процесса при нулевых начальных условиях. Движением системы называется физический процесс изменения её переменных во времени и пространстве. Выходные переменные Y(t), управляющие входные воздействия U(t) и возмущающие входные воздействия V(t) рассматриваются в виде соответствующих векторов, которые записываются в виде столбцовых матриц:

1. 3 Моделирование непрерывной системы контроля

Система контроля предназначена для измерения и выдачи информации о контролируемом процессе h(t), который содержит среднюю (детерминированную) составляющую и стохастическую (случайную) g(t). Измерение происходит при воздействии аддитивных шумов n(t). Датчик, с помощью которого производятся измерения, является динамическим звеном (в данном случае второго порядка). Эквивалентная схема системы контроля представлена на рисунке 1

Рисунок 1 - Схема системы контроля

Случайная составляющая g(t) измеряемого процесса задана спектральной плотностью Sg(w); детерминированная - сигналом u(t); h(t)=g(t)+u(t) - полный информационный процесс; f(t)=h(t)+n(t) - измерение процесса h(t) c аддитивными шумами n(t) (задана спектральная плотность шума - Sn(w)); h(t) -выходной сигнал ДПИ (датчик первичной информации); W(S) - передаточная функция ДПИ. Детерминированное входное воздействие задано суммой ступенчатой и гармонической функций.

Для моделирования системы контроля в Matlab составляется схема моделирования, которая представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 - Схема моделирования системы контроля

1.4 Математическое описание непрерывной системы контроля

Задана спектральная плотность контролируемого процесса:

Передаточная функция объекта наблюдения:

Интенсивность шумов измерений R=17 (при измерении выходного сигнала объекта наблюдения).

Путем факторизации из модели в виде спектральной плотности получим передаточную функцию формирующего фильтра входного процессора:

Матричная модель объекта наблюдения находится методом вспомогательной переменной. Уравнение состояния в данном случае:

Процесс h(t) на выходе объекта наблюдения вычисляется в матричном виде:

В данном примере получаем следующий вид матриц:

Матричная модель датчика:

Выход объекта наблюдения h=C 0 *X 0 .

Полное уравнение объекта контроля содержит уравнение состояния входного процесса и уравнение состояния объекта:

где матрицы A, B и D составляются на основе дифференциальных уравнений процесса и объекта контроля, которые имеют вид:

Или относительно полного вектора: :

Матрицы A, B, C, D в данном случае имеют следующий вид:

2 . Практическая часть

2.1 Выполнение задания 1

Алгоритм выполнения работы в среде Simulink.

1. Запускаем Matlab (версия R2012b) и выбираем в меню пункт «New > Simulink Model» (рисунок 3).

Рисунок 3 - Процесс создания новой модели в Simulink

2. Открываем библиотеку функциональных блоков "Simulink". Для этого кликнем левой кнопки мыши на панели управления по иконке "Simulink Library" (рисунок 4).

Рисунок 4 - Процесс создания новой модели в Simulink

3. В результате откроется меню библиотеки Simulink, главный вид которой представлен на рисунке 5.

Рисунок 5 - Главное окно "Simulink Library"

4. Извлекаем из библиотеки Simulink все необходимые функциональные блоки. Для этого воспользуемся поиском, в верхней панели окна "Simulink Lybrary Browser", который представлен на рисунке 6.

Рисунок 6 - Поиск блока в "Simulink Library"

5. Для моделирования непрерывной системы контроля нам будут необходимы следующие блоки:

Блоки "Sine Wave", "Step" и "Random number" с вкладки "Sources";

Три блока "Subsystem" и блок "Scope" с вкладки "Commonly Used Blocks";

Блок "Sum" с вкладки "Math Operations";

Блок "Fcn" с вкладки "User Define Function";

Блок "State-space" с вкладки "Continuous".

6. Cоберем схему верхнего уровня модели непрерывной системы контроля (рисунок 7), используя перечисленные в п.5 функциональные блоки:

Рисунок 7 - Схема верхнего уровня системы контроля

7. Рассмотрим более подробно блоки "Subsystem": "Object", "Sensor", "Filter".

8. Блок "Object" является объектом наблюдения системы и представляет собой динамическую систему, в которой содержится стохастический процесс (блок "State-Space") и датчик (блок "State-Space 1"). Функциональная схема динамической системы "Object" представлена на рисунке 8.

Рисунок 8 - Динамическая система "Object"

9. Настройка блоков уравнения состояния "State-Space" и "State-Space 1" представлена на рисунках 9 и 10 соответственно.

Рисунок 9 - Настройка параметров блока "State-Space"

Рисунок 10 - Настройка параметров блока "State-Space 1"

10. Функциональные блоки h(t)=C 0 X и g(u)=C g X, заданы функциями, представленными в окне параметров (рисунок 11).

Рисунок 11 - Настройка функциональных блоков h(t) и g(u)

11. Блок "Sensor" (датчик) производит измерение входного сигнала и представляет собой совокупность полезного сигнала h(t) и помехи n(t):

Модель датчика представлена на рисунке 12. Блок "Random Number" используется в качестве генератора белого шума с интенсивностью 0,4.

Рисунок 12 - Модель датчика (Sensor)

12. Блок "Filter" (фильтр) на основе измерений датчика выдает оценку выходного параметра объекта наблюдения - h^(t). Матрицы A, B, C соответствуют матрицам полной модели. Матрица С в блоке "State Space" - единичная. Модель фильтра представлена на рисунке 13.

Рисунок 13 - Модель фильтра (Filter)

Настройка параметров блока "State Space" и функционального блока f(u) представлена на рисунке 14.

Рисунок 14 - Настройка параметров блоков "State-Space" и "f(u)"

13. Результаты процессов системы регистрируются осциллографом (блок "Scope"). Произведем настройку параметров блока "Scope". Для этого кликнем правой кнопкой мыши по блоку и выберем в диалоговом окне пункт "Block Parametres" (параметры блока). Далее в области появившегося окна кликнем правой кнопкой мыши и выберем пункт "Axes properties" (рисунок 15). В появившемся диалоговом окне зададим область значений (Y) для каждого из трех графиков (рисунок 16).

Рисунок 15 - Настройка параметров блока "Scope"

Рисунок 16 - Настройка области значений Y

14. На панели инструментов Matlab в верхней части экрана можно настроить число рабочих тактов системы, по окончании которых работа Matlab прекратится. Настройка данного параметра представлена на рисунке 17.

Рисунок 17 - Настройка рабочих тактов системы

15. На этом настройка модели непрерывной системы контроля завершена. Далее запустим систему, кликнув левой кнопкой мыши по иконке "Run" на панели инструментов в верхней части экрана (рисунок 18).

Рисунок 18 - Запуск системы на выполнение

16. Результаты работы системы отражаются в блоке "Scope" и приведены на рисунке 19.

Рисунок 19 - Результаты работы системы

2.2 Выполнение задания 2

Колебания нелинейного осциллятора описываются следующим уравнением:

Используя данное дифференциальное уравнение, необходимо:

1. Создать модель механической системы;

2. Вычислить числовое значение координаты осциллятора в момент времени t=5 и вывести результат на display;

3. Построить графики зависимости координаты и скорости от времени;

4. Построить фазовую траекторию системы.

Запишем исходное уравнение в виде системы уравнений первого порядка.

Решим эту систему с помощью пакета Simulink, составляя блочную модель. Отдельным блоком в общей модели сформируем подмодель (блок Subsystem):

(библиотека Ports & Subsystems).

Подмодель -- это фрагмент модели, оформленный в виде отдельного блока. Использование подмодели при составлении модели имеет следующие положительные стороны:

1) уменьшает количество одновременно отображаемых блоков на экране, что облегчает восприятие модели;

2) позволяет создавать и отлаживать фрагменты модели по отдельности, что повышает технологичность создания модели;

3) дает возможность синхронизации параллельно работающих подсистем.

Используя созданную подмодель, значения и в основной модели связываем с соответствующими входами подмодели, а выход подмодели связываем с сумматором. Сигнал с выхода сумматора подаем на вход первого интегратора, замыкая цепь интегрирования.

В Simulink описанная процедура представлена на рисунках 20 и 21:

Рисунок 20 - Основная модель

Рисунок 21 - Подмодель

Если дважды щелкнуть мышью на блоке Scope (y(t)) в блок-схеме осциллятора, то появится графическое окно с графиком зависимости координаты y от времени. Результат показаний блока "Scope" представлен на рисунке 22.

Рисунок 22 - Показания блока Scope

В данной модели для построения фазовой траектории системы используется блок -- графопостроитель, который строит график одного сигнала в функции другого (график вида Y(X)). Блок имеет два входа. Верхний вход предназначен для подачи сигнала, который является аргументом (X), нижний вход -- для подачи значений функции (Y). Зависимость X от Y представлена на рисунке 23.

Рисунок 23 - Зависимость X от Y

Заключение

При выполнении данной работы были решены следующие задачи:

1) смоделирована непрерывная система контроля на основе матричной модели объекта наблюдения;

2) получена и построена передаточная функция формирующего фильтра входного процесса;

3) составлена и построена матричная модель датчика и функция выхода для объекта наблюдения;

4) на основе дифференциальных уравнений процесса и объекта контроля сформировано полное уравнение объекта контроля;

5) построены графики для выходного параметра фильтра h(t), для выхода объекта наблюдения h(t) и выхода датчика (сенсора) y(t);

6) спроектирована модель механической системы;

7) построен график зависимости координаты и скорости от времени, а также фазовая траектория системы.

Список использованных источников

1. Волков, В.Л. Моделирование процессов и систем. Учеб. пособие /В.Л. Волков. - Н.Новгород; НГТУ, 1997. -80 c.

2. Лебедев, А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. - М.: Радио и связь, 1989.

3. Прохоров, С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов. - Самара. Самарский гос. аэрокосм. ун-т, 2001. -209 с.

4. Моделирование процессов и систем. Стохастические и детерминированные динамические системы и информационные процессы. Лабораторные работы. Методические Указания / Сост: Волков В.Л., Гущин О.Г., Поздяев В.И. - Н.Новгород. НГТУ, 1998. -32 c.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Анализ динамических процессов в системе на основе использования построенной аналитической модели. Моделирование с использованием пакета расширения Symbolic Math Tolbox. Построение модели в виде системы дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши.
курсовая работа , добавлен 21.06.2015

Построение сигнального графа и структурной схемы системы управления. Расчет передаточной функции системы по формуле Мейсона. Анализ устойчивости по критерию Ляпунова. Синтез формирующего фильтра. Оценка качества эквивалентной схемы по переходной функции.
курсовая работа , добавлен 20.10.2013

Математические модели технических объектов и методы для их реализации. Анализ электрических процессов в цепи второго порядка с использованием систем компьютерной математики MathCAD и Scilab. Математические модели и моделирование технического объекта.
курсовая работа , добавлен 08.03.2016

Моделирование входного заданного сигнала, построение графика, амплитудного и фазового спектра. Моделирование шума с законом распределения вероятностей Рэлея, оценка дисперсии отсчетов шума и проверка адекватности модели шума по критерию Пирсона.
курсовая работа , добавлен 25.11.2011

Решение дифференциальных уравнений математической модели системы с гасителем и без гасителя. Статический расчет виброизоляции. Определение собственных частот системы, построение амплитудно-частотных характеристик и зависимости перемещений от времени.
контрольная работа , добавлен 22.12.2014

Схема блоков модели Карааслана, система дифференциальных уравнений, методы решения. Блоки и биохимические законы системы Солодянникова, переход между фазами. Моделирование патологий, графики экспериментов. Построение комплексной модели гемодинамики.
дипломная работа , добавлен 24.09.2012

Разработка проекта системы автоматического управления тележкой, движущейся в боковой плоскости. Описание и анализ непрерывной системы, создание ее математических моделей в пространстве состояний и модели "вход-выход". Построение графиков реакций объекта.
курсовая работа , добавлен 25.12.2010

Математическое моделирование задач коммерческой деятельности на примере моделирования процесса выбора товара. Методы и модели линейного программирования (определение ежедневного плана производства продукции, обеспечивающей максимальный доход от продажи).
контрольная работа , добавлен 16.02.2011

Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. Организация обслуживания при ограниченной информации о надёжности системы. Алгоритмы безотказной работы системы и нахождение времени плановой предупредительной профилактики систем.
реферат , добавлен 19.06.2008

Операторы преобразования переменных, классы, способы построения и особенности структурных моделей систем управления. Линейные и нелинейные модели и характеристики систем управления, модели вход-выход, построение их временных и частотных характеристик.